Геометрия в пространстве
Уравнение плоскости
Известно, что через заданную точку перпендикулярно заданному вектору проходит единственная плоскость. Исходя из этого определения, выведем уравнение плоскости.
Пусть
- известная точка плоскости, а заданный
вектор (его называют нормальным вектором
плоскости), определяющий ориентацию
плоскости в пространстве имеет вид
.
Выберем произвольную точку плоскости
,
тогда вектор
принадлежит
плоскости, а. следовательно, перпендикулярен
нормальному вектору плоскости. Очевидно,
скалярное произведение этих векторов
.
Отсюда следует
формула
.
Это
и есть уравнение плоскости, перпендикулярной
вектору
и проходящей через точку
.
Если
раскрыть скобки и ввести обозначение
,
получаем общее
уравнение
плоскости
.
Доказано, что между этим уравнением и множеством плоскостей в трехмерном пространстве существует взаимно однозначное соответствие.
Примеры.
-
Определить угол между плоскостями
и
.
Очевидно,
угол между плоскостями равен углу между
их нормальными векторами, тогда
.
-
Найти точку пересечения трех плоскостей
и
,
.
Задача свелась к решению системы трех уравнений с тремя неизвестными. Система уравнений может иметь единственное решение, тогда плоскости имеют одну общую точку не иметь решений, тогда плоскости параллельны, и иметь бесчисленное множество решений, в этом случае плоскости пересекаются по прямой, или наложены одна на другую.
Решаем систему уравнений методом Гаусса. Рассмотрим ее расширенную матрицу
Ясно,
что
.
Имеем одну общую точку трех плоскостей
.
Прямая в пространстве
Определим
прямую как пересечение двух плоскостей.
Тогда ее уравнение имеет вид
-
это общее уравнение прямой.
Можно получить другое уравнение прямой, воспользовавшись определением, что через заданную точку в заданном направлении проходит единственная прямая.
Пусть
прямая проходит через точку
в направлении вектора
.
Выберем произвольную точку прямой
,
тогда вектор
принадлежит прямой, следовательно,
коллинеарен вектору
.
Тогда
или
,
откуда следует каноническое уравнение
прямой
.
Из
этого уравнения можно получить уравнение
прямой, проходящей через две заданные
точки
и
,
если за направляющий вектор принять
.
Очевидно,
.
Из
соотношений
получаем параметрическое уравнение
прямой
.
Применение уравнений прямой и плоскости
Пример1.
Найти точку пересечения плоскости
и прямой
.
Задача сводится к решению системы трех уравнений
Если система имеет единственное решение, то общая точка плоскости и прямой одна, если не имеет решение – прямая параллельна плоскости, при бесчисленном множестве решений прямая лежит в плоскости. Решим задачу методом Гаусса
~ 
~ 
Получаем систему двух уравнений
,
соответствующих, как говорилось выше, пространственной прямой, лежащей в указанной плоскости.
Пример 2.
Найти
точку пересечения плоскости
и прямой, заданной уравнением
.
Запишем уравнение прямой в параметрическом виде. Пусть
,
тогда
Подставляем полученные соотношения в уравнение плоскости
,
откуда
имеем
.
Точка пересечения прямой и плоскости
имеет координаты
.
Пример
3. Определить угол между прямыми
и
.
Угол
между прямыми равен углу между их
направляющими векторами
.
Очевидно,
.
Поверхности второго порядка.
Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a23yz + 2a13xz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44= 0,
в котором по крайней мере один из коэффициентов a11, a22, a33, a12, a23, a13 отличен от нуля.
К поверхностям второго порядка относятся
-
Сфера,
-
эллипсоид,
-
однополостной гиперболоид
-
двуполостной гиперболоид.
-
эллиптический параболоид,
-
гиперболический параболоид,
-
цилиндрические поверхности,
-
конические поверхности.
Сфера
Множество всех точек пространства, одинаково удаленных на расстояние R от данной точки O, называется сферой.
Сфера радиуса R с центром в начале координат представлена уравнением второй степени
x2+y2+z2=R2
Сфера радиуса R центр которой не совпадает с началом координат представлена другим уравнением второй степени
(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2
Эллипсоид
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением
a > 0, b > 0, c > 0, называется эллипсоидом.
Свойства эллипсоида.
-
Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что
-
Эллипсоид обладает
-
центральной симметрией относительно начала координат,
-
осевой симметрией относительно координатных осей,
-
плоскостной симметрией относительно начала координат.
В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс.
Однополостный гиперболоид
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением
a > 0, b > 0, c > 0, называется однополостным гиперболоидом.
Свойства однополостного гиперболоида.
-
Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.
-
Однополостной гиперболоид обладает
-
центральной симметрией относительно начала координат,
-
осевой симметрией относительно всех координатных осей,
-
плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.
Двуполостный гиперболоид
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением
a > 0, b > 0, c > 0, называется двуполостным гиперболоидом.
Свойства двуполостного гиперболоида.
-
Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что
и неограничен сверху.
-
Двуполостный гиперболоид обладает
-
центральной симметрией относительно начала координат,
-
осевой симметрией относительно всех координатных осей,
-
плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
В
сечении однополостного гиперболоида
плоскостью, перпендикулярной оси
координат Oz, при
получается
эллипс, при
–
точка, а в сечении плоскостями,
перпендикулярными осям Ox и Oy, – гипербола.
Эллиптический параболоид
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением
a > 0, b > 0, называется эллиптическим параболоидом.
Свойства эллиптического параболоида.
-
Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.
-
Эллиптический параболоид обладает
-
осевой симметрией относительно оси Oz,
-
плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.
В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.
Гиперболический параболоид
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением
a > 0, b > 0, называется гиперболическим параболоидом.
Свойства гиперболического параболоида.
-
Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.
-
Гиперболический параболоид обладает
-
осевой симметрией относительно оси Oz,
-
плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz.
В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат Oz, получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy, – парабола.
Гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны.
Цилиндрические поверхности
Цилиндрическая поверхность образуется при движении прямой AB, сохраняющей своё направление и пересекающейся с заданной линией (кривой) MN. Линия MN называется направляющей. Прямые, соответствующие различным положениям прямой AB при её движении называются образующими цилиндрической поверхности.
Цилиндр. Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями. Части этих плоскостей ( ABCDEFG и abcdefg ) называются основаниями цилиндра. Расстояние между основаниями KM – высота цилиндра. Цилиндр – прямой, если его образующие перпендикулярны основанию; в противном случае цилиндр – наклонный. Цилиндр называется круговым, если его основание – круг. Если цилиндр является одновременно и прямым, и круговым, то он называется круглым.
Цилиндрические сечения боковой поверхности кругового цилиндра . Сечения, параллельные основанию - круги того же радиуса. Сечения, параллельные образующим цилиндра - пары параллельных прямых ( AB || CD ). Сечения, которые не параллельны ни основанию, ни образующим - эллипсы.
Эллиптический цилиндр
Параболический цилиндр:
Гиперболический цилиндр:
Пара
совпавших прямых:
Пара
совпавших плоскостей:
Пара
пересекающихся плоскостей:
Конические поверхности
Коническая поверхность образуется при движении прямой AB, проходящей всё время через неподвижную точку (S), и пересекающей за данную линию MN, называемую направляющей. Прямые, соответствующие различным положениям прямой AB при её движении, называются образующими конической поверхности; точка S – её вершиной. Коническая поверхность состоит из двух частей: одна описывается лучом SA, другая – его продолжением SB. Обычно в качестве конической поверхности рассматривают одну из её частей.
Конус – это тело, ограниченное одной из частей конической поверхности с замкнутой направляющей и пересекающей коническую поверхность плоскостью ( ABCDEF), не проходящей через вершину S. Часть этой плоскости, расположенной внутри конической поверхности, называется основанием конуса. Перпендикуляр SO, опущенный из вершины S на основание, называется высотой конуса. Пирамида является частным случаем конуса. Конус называется круговым, если его основанием является круг. Прямая SO, соединяющая вершину конуса с центром основания, называется осью конуса. Если высота кругового конуса совпадает с его осью, то такой конус называется круглым.
Конические сечения. Сечения кругового конуса, параллельные его основанию - круги. Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и не параллельное ни одной его образующей - эллипс . Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и параллельное одной из его образующих - парабола ( рис.88 ). Сечение, пересекающее обе части кругового конуса, в общем случае является гиперболой, состоящей из двух ветвей ( рис.89 ).В частности, если это сечение проходит через ось конуса, то получаем пару пересекающихся прямых (образующих конуса).
Конические сечения представляют большой интерес как в теоретическом, так и в практическом отношении. Так, они широко используются в технике ( эллиптические зубчатые колёса, параболические прожекторы и антенны ); планеты и некоторые кометы движутся по эллиптическим орбитам; некоторые кометы движутся по параболическим и гиперболическим орбитам.
Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:
