8. Формула повної ймовірності
Припустимо, що в результатідосвідуможевідбутися одна з n подій
P1, ...,Pn, якізадовольняютьнаступнимдвомумовам:
1) вониє попарно несумісними, тобтоPiPj = ∅ при i ≠ j;
2) хоча б одна з них обов’язково повинна відбутися в результаті
досліду, іншими словами, їхоб’єднання є достовірнаподія, тобто
P1 ∪ . . . ∪Pn = Ω.
Формулаповноїймовірності, недивлячисьнаїїпростоту, відіграє
доситьважливу роль у теоріїймовірностей
P(A)=P(B1)PB1(A)+P(B2)PB2(A)
Позначемо через А подію,щонавманнявибирають .Цеможестатися з першоїподії(відбуласяподія В1)або-другої (В2).
9.Формула Байєса.
PA(Bi)=P(Bi)PB
(A)/
P(Bi)PBi(A)=P(Bi)PBi(A)/P(A)
Для доведенняформулипотрібнодвічіскористуватисяформулою
множеннязалежнихподій.Формула названа іменем
англійського математика,який вперше вивів у 1764р.
PBi(A)=P(B2)PB2(A)/P(B1)PB1(A)+P(B2)PB2(A).
10. Формули для обчислення ймовірності відбування події при повторних незалежних випробуваннях: Бернуллі ,Пуассона, локальна та інтегральна теореми Лапласа.
Випадкові події:
-подія
,
назив. несумісними якщо при відбуванні
однієї з подій не можливе відбув. ніякої
іншої.
-події
,
,
назив. єдино можливими, якщо при
випробуванні обов’язково відбув. одна
з них 
і ніяка інша, яка відноситься до іншої
групи.
-подія
,
…
назив. рівно можливими, якщо при
випробуванні жодна з них не є між можливою
ніж інша.
-дві події А і Ā назив. протилежними, якщо вони єдино можливі і несумісні.
-події
,
…А
скл. повну групу подій, якщо вони єдино
можливі і несумісні.
В теорії ймовірності, формула Бернуллі дозволяє обчислити ймовірність успіхів у серії незалежних експериментів.
Якщо ймовірність P настання події A в кожному з випробувань стала, то ймовірність Pn(k) того, що подія A настане k разів в n незалежних випробуваннях дорівнює
Формула
Бернулли
удобна для вычислений лишь при сравнительно
небольшом числе испытаний
.
При больших значениях
пользоваться
этой формулой неудобно. Чаще всего в
этих случаях используют формулу Пуассона.
Эта формула определяется теоремой
Пуассона.
Теорема.
Если вероятность
наступления
события
в
каждом испытании постоянна и мала, а
число независимых испытаний
достаточно
велико, то вероятность наступления
события
ровно
раз
приближенно равна
,
где
.
Локальна теорема Лапласа. Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює р(0 < р < 1), подія настане рівно k разів (байдуже, в якій послідовності), приблизно дорівнює (тим точніше, чим більше n)
Для визначення значень φ(x) можна скористатися спеціальною таблицею.
Інтегральна теорема Лапласа. Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює р (0 < р < 1), подія настане не менш k1 раз і не більше k2 раз, приблизно дорівнює
P(k1;k2)=Φ(x") - Φ(x')
Тут
-функция Лапласа
11. Поняття дискретної випадкової величини. Закон розподілу дискретної випадкової величини. Функція розподілу.
Величина назив. випадковою, якщо в результаті випробування вона приймає одне наперед невідоме значення з множини своїх значень.
Випадкова величина назив. дискретною, якщо її значення можна перелічити.
Нехай
випадкова величина Х набувае своє
значення з множини (
,
…,
)
Законом розподілу ДВВ назив. співвідношення, яке встановлює зв'язок із всіма можливими значеннями ДВВ і відповідає їм ймовір.
|
Х |
|
|
Р |
|
,
…
,
…
Функцію розподілу ДВВ назив. ймовірність того що випадкова величина Х прийме значення менше певного Х.
Основний закон розподілу ДВВ:
Біномінальний закон розподілу має вип.. величина, якщо:
-проводиться n повторних незалежних випробувань
- m- це кількість випробувань в яких подія відбулася
-в
кожному з випробувань подія відбувається
з ймовірністю p
і не відбувається з ймовірністю q,
тоді ймовірність того що при n
випробувань подія відбудеться рівно m
разів обчисл. за формулою Бернуллі:
=
; 
-
комбінації.