Колебательные движения

Самый простой случай К. движений уже рассмотрен в статье Гармоническое движение. Такое движение обуславливается переменной силой, во всякий момент направленной противоположно отклонению колеблющейся точки u, пропорциональной величине отклонений. Перемещение колеблющейся точки, в самом простом случае, выражается уравнением: x = αsin2πt/T, где α размах или амплитуда колебания, T — период одного колебания, t время, считаемое от момента прохождения точки чрез среднее свое положение и угол 2πt/T — фаза колебания. Фаза определяет место точки в пути и считается от 0 до 2π. Кинетическая энергия колеблющейся частицы (масса m), выражаемая, обыкновенно, через ¹/₂mv² (живая сила), меняется в течение ¹/₂ периода от нуля до некоторого максимума. Поэтому средняя величина энергии для времени ¹/₂ периода выражается через π²ma²/T². Все возможные типы колебаний могут быть приведены к простому колебанию — гармоническому. Фурье доказал особой теоремой, что всякое периодическое или К. движение с периодом T можно составить через сложение простых — с периодом T, ¹/₂T, ¹/₃T, и т.д. и притом составить только одним способом (т. е. с вполне определенными амплитудами и фазами). Иначе говоря, всякое К. движение с периодом Т разлагается на простые гармонические, причем период основного есть Т. Два простых колебания одного периода, следующие по одной и той же прямой, складываются — усиливая или ослабляя друг друга и даже уничтожая (если амплитуды равны, а фазы противоположны, т. е. разнятся на π). Такое явление называетсяинтерференцией колебаний (см. Интерференция). Два колебания одинакового периода, направленные по взаимно перпендикулярным прямым, смотря по амплитудам и разности фаз, складываются или в движение по эллипсу (эллиптическое колебание), или по кругу (круговое колебание), или по прямой. Два колебания различных периодов по взаимно перпендикулярным линиям, в зависимости от амплитуд и разности фаз, складываются в траектории сложных форм, известных под общим именем фигур Лиссажу. Ряд точек, последовательно приходящих в К. движение, называется лучом. Передача колебаний от точки к точке — совершается с определенной скоростью, которая поэтому называется скоростью распространения колебаний. Расстояние между двумя ближайшими точками луча, находящимися в одинаковых фазах колебания, называется длиной волны (λ). Если в ряде точек в некоторый момент (t) перемещение одной точки ряда: x = аsin2πt/T, то перемещение всякой другой, находящейся в ряде на расстоянии y от первой, выразится уравнением x = asin2π(t/Т-у/λ). Такое уравнение называется уравнением луча и y называется разностью хода двух колеблющихся точек. Она соответствует разности фаз 2πy/λ (см. Волны, Дифракция, Интерференция).

Подробнее о К. движении см. Thomson u. Tait, "Theoretische Physik übersetzt v. Helmholtz und Wertheim" (p. 57); Хвольсон, "Учение о движении и силах (1893, стр. 58); Столетов, "Введение в акустику и оптику" (M., 1895). См. еще Колебания звучащих тел.

Н. Егоров.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон. 1890—1907.

Амплитуда, период, частота гармо­нических колебаний.

Колебательное движение характеризуется амплитудой, т. е. максимальным смещением от положения равновесия. (Показываю на примерах см. рис. 1, груз на вертикально подвешенной пру­жине укреплен на классной доске, чтобы нагляднее показать и измерить амплитуду колебания) и записываю на доске: «А — амплитуда».)

Период Т — минимальный промежуток времени, через который движение тела полностью повторяется, или промежуток, в течение которого происходит полное колебание. (Показываю на одном из приборов, что такое полное колебание, и пишу на доске: «Т — пе­риод».) Величина, обратная периоду, — частота, т. е. число коле­баний в секунду. (Записываю на доске: «  — частота».)                     Рис. 1.

Каково соотношение между периодом и частотой? (Постепенно изменяю длину нити маятника. Нить перекинута через кольцо, закрепленное в штативе) Как изменяются период и частота?

Ученик. Уменьшается период и увеличивается частота.

Учитель. Если частота 2 с^-1, чему равен период, т. е. сколь­ко времени продолжается полное колебание?

Ученик. 1/2 с.

Учитель. Если период равен 1/4 с, чему равна частота, т. е. сколько колебаний совершается за 1 с?

Ученик. 4 колебания.

Учитель. Следовательно, период и частота — величины взаимно обратные.

   и   .

Скорость и ускорение при колебательном движении.

Учитель. Ребята, а как изменяется ли скорость и ускорение при колебательном движении?

Ученик. Должны изменятся. Ведь это движение является повторяющимся, т.е. в некоторые моменты времени повторяются не только координаты тела, но и его скорость и ускорение.

Учитель. Действительно, в точках максимального отклонения от положения равновесия (х=А и х=-А) скорость равна нулю – в этих точках тело на мгновение останавливается, чтобы начать движение в обратном направлении. В точках равновесия скорость максимальна. Ускорение, наоборот в точке равновесия равно нулю, потому что в этой точке сила равна нулю. В точках же  максимального отклонения от положения равновесия (х=А и х=-А) ускорение равно наибольшему значению.

Энергия колебательного движения.

Учитель. Определимся теперь, как изменяется энергия колебательного движения. Мы видели, что если тело, при­крепленное к пружине, было перво­начально отклонено от положения равновесия на расстояние А, на­пример, влево, то оно, пройдя через положение равновесия, откло­нится вправо. И мы утверждали, что и вправо оно отклонится на расстояние А. Но откуда это сле­дует? Почему отклонения вправо и влево при колебаниях непременно должны быть одинаковыми? Это, оказывается, следует из закона со­хранения энергии.

Из предыдущей главы мы знаем, что потенциальная энергия сжатой или растянутой пружины равна , где k—жесткость пружины и x — ее удлинение. В нашем при­мере (см. рис. 151) в крайнем левом положении удлинение пружины х=-А, следовательно, потенциальная энергия равна - . Ки­нетическая энергия в этот момент равна нулю, потому что нулю равна скорость. Значит, потенциальная энергия  это полная механи­ческая энергия системы в этот момент.

Так как мы условились, что си­ла трения равна нулю, а другие силы уравновешены, то нашу систему можно считать замкнутой и ее полная энергия при движении не может измениться. Когда тело при своем движении окажется в край­нем правом положении (х=А), его кинетическая энергия снова будет равна нулю и полная энергия опять равна потенциальной. А пол­ная энергия не может измениться.

Значит, она снова равна. Это и означает, что и вправо тело отклонится на расстояние, равное А.

В положении равновесия, на­против, потенциальная энергия рав­на нулю, потому что х=0 (пружина не деформирована!) В этом поло­жении полная энергия тела равна его кинетической энергии , гдет — масса тела и V_m— его скорость (она в этот момент максимальна). Но эта кинетическая энергия тоже должна иметь значение, равное .

При колебательном движении происходит, следовательно, превра­щение кинетической энергии в потен­циальную и обратно. В любой же точке между положениями равно­весия и максимального отклонения тело обладает и кинетической энер­гией и потенциальной, но их сумма, т. е полная энергия в любом положении тела, равна . Полная механическая энергия W колеблю­щегося тела пропорциональна квад­рату амплитуды его колебаний: W=.

Из закона сохранения энергии следует  интересное  соотношение между амплитудой колебаний А и максимальной скоростью V_m ко­леблющегося тела (оно нам будет необходимо в дальнейшем).

Как мы видели, = отсюда  =, или =.

ДВИЖЕНИЯ ТЕКТОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ

ДВИЖЕНИЯ ТЕКТОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ

— общее назв. вертикальных движений земной коры разл. знака, разных масштабов, площадного распространения, разл. скоростей и амплитуд, изменяющих с течением времени эти свои параметры и не создающих складчатых структур. Термин Д. т. к. впервые употребляется в работах Озерского (1849), а термины “колебания” и “волнообразные колебания” — у Карпинского (1894) для обозначения медленных плавных поднятий и опусканий значительных участков земной поверхности, без видимых изменении залегания слоев горных пород. Д. т. к. проявляются в слоистости и ритмичности толщ, а также в образовании морских и речных террас. Примерно тот же смысл Гилберт, Штилле и др. вкладывали в термин “движения эпейрогенические” (или “эпейрогенез”). К 30-м годам XX в. выяснилась этимологическая неточность термина Гилберта, подверглись ревизии до того господствовавшие представления контракционистов и были выдвинуты новые концепции, отводившие вертикальным движениям ведущее место в тектогенезе. В связи с этим в СССР термин Д. т. к. был возрожден и получил широкое распространение благодаря работам Тетяева (1934, и др.) и Белоусова (1948 я др.), хотя Шатский (1939) и Муратов (1949) предлагали сохранить для некоторых видов Д. т. к. термин “эпейрогенез”. Хаин (1939) подразделил Д. т. к. на осцилляционные и эпейрогенические и затем одновременно с Вассоевичем (1948) предложил для вторых термин “волновые движения”. Белоусов (1954) соответственно применил термины “общие колебания” и “волновые колебания”, а Хаин (1954) — “осцилляционные”, или “собственно колебательные движения” и “волновые движения” (с выделением плавной и разрывной форм последних). При этом Хаин рассматривал указанные два вида Д. т. к. как самостоятельные типы. В европейской лит. по-прежнему сохраняют свое значение термины “эпейрогенические движения”, “эпейрогенез” в понимании, близком к термину “общие колебания”, однако Бубнов предложил термин “диктиогенез”, в общем эквивалентный волновым колебаниям. Д. т. к. существенно влияют на процессы седиментации осад. п., обусловливая расположение на земной поверхности основных обл. сноса и накопления осадков. Амплитуда движений непосредственно влияет на мощн. (и скорость) накапливающихся от л. (чем больше амплитуда погружения, тем более мощные осад. толщи могут быть отложены при наличии достаточного количества осад. материала). Д. т. к. являются основной причиной ритмичного строения осад. толщ. В образовании крупных элементов слоистого строения толщ (ритмов) они играют основную роль. Д. т. к. влияют и на состав осад. п., вызывая перемещение береговых линий басс. и др. изменения физико-географических условий. Различие амплитуды поднятий в обл. сноса обусловливает размыв разных по возрасту и составу толщ. В геоморфологии с Д. т. к. пытаются связать эпохи расчленения рельефа и его выравнивания, не учитывая особенностей экзогенных процессов, в частности эвстатические изменения ур. моря, а также резкую изменчивость увлажненности климата, приводящую к усилению и ослаблению эрозии. В. А. Унксов.

Геологический словарь: в 2-х томах. — М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978.

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ РЕАКЦИИ

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ РЕАКЦИИ

р-ции, в ходе к-рых концентрации промежут. соединений и скорость р-ции испытывают колебания. Колебания м. б. периодическими, в этом случае значения c(t) колеблющихся концентраций (t - время) можно представить рядом Фурье:    где а _n, b_n- коэффициенты разложения ф-ции c(t) в рад (амплитуды отдельных гармонич. компонент), A_n - комплексные амплитуды, w - частота колебаний (i - мнимая единица). В общем случае амплитуды и частоты колебаний могут изменяться во времени (колебания затухающие, нарастающие, модулированные). Колебания концентраций промежут. соед. могут быть непериодическими или иметь непрерывный спектр. Колебания концентраций промежут. соед. - относительно редкое явление, наблюдаемое в ходе нек-рых сложных р-ций. Элементарные хим. р-ции являются релаксац. процессами, обеспечивающими монотонное приближение реагирующей системы к состоянию термодинамич. равновесия. Для возникновения колебаний в ходе гомог. изотермич. р-ции необходимо наличие промежут. соед. и взаимодействие между ними. В открытых системах существуют стационарные состояния, в к-рых концентрация c(i) i -го промежут. соед. не зависит от времени (с _i=c⁰_i). При небольших отклонениях системы от стационарного состояния изменение с _i описывается суммой экспонент с комплексными показателями:    Величины l_i=g_i+iw_i, наз. характеристич. числами. В неколебат. устойчивых системах l_i отрицательны и действительны (g_i<0, w_i=0). В этих случаях обычно вместо l_i используют времена релаксации t_i=1/l_i. Если стационарное состояние достаточно близко к состоянию термодинамич. равновесия (выполняются соотношения взаимности Онсагера, см. Термодинамика необратимых процессов), то все l_i действительны и отрицательны (теорема Пригожина). В этом случае система приближается к стационарному состоянию без колебаний. В сильно неравновесных системах l_i могут стать комплексными числами, что соответствует появлению колебаний около стационарного состояния. При определенных значениях параметров сильно неравновесной системы (концентраций исходных реагентов, т-ры, давления и т. д.) стационарное состояние может потерять устойчивость. Потеря устойчивости стационарного состояния является частным случаем бифуркации, т. е. изменения при определенном (бифуркационном) значении к.-л. параметра числа или типа разл. кинетич. режимов системы. Имеется два простейших случая бифуркации устойчивого стационарного состояния. В первом случае одно l_i становится положительным. При этом в точке бифуркации (l_i=0) исходно устойчивое состояние становится неустойчивым или сливается с неустойчивым стационарным состоянием и исчезает, а система переходит в новое устойчивое состояние. В пространстве параметров в окрестности этой бифуркации существует область, где система обладает по крайней мере тремя стационарными состояниями, из к-рых два устойчивы, а одно неустойчиво. Во втором случае действит. часть одной пары комплексных характеристич. чисел становится положительной. При этом в окрестности потерявшего устойчивость стационарного состояния возникают устойчивые колебания. После прохождения точки бифуркации при дальнейшем изменении параметра количеств, характеристики колебаний (частота, амплитуда и т. д.) могут сильно меняться, но качеств. тип поведения системы сохраняется. В хим. системах неустойчивости могут возникать в результате ускорения р-ции ее продуктами или др. видов автокатализа, субстратного или перекрестного ингибирования (см. Ингибиторы), конкуренции исходных в-в за промежут. соед. и т. п. В неизотермич. системах причиной неустойчивости может служить самоускорение экзотермич. стадий р-ции, а в электрохим. р-циях экспоненциальная зависимость скорости р-ции от поляризации электродов. Появление простейших неустойчивостей и соответствующих кинетич. состояний системы удобно пояснить на примере ферментативной р-ции с двумя субстратами S₁ и S₂, один из к-рых, напр. S₁, ингибирует фермент Е:  S₀₁DS₁ S₀₂DS₂ S₁+E₁ DS₁E S₁E+S₂DS₁E:P S₁E+S₁DS₁S₁E  Субстраты S₁ и S₂ могут поступать в систему извне (напр., за счет притока в проточном реакторе или путем диффузии через мембрану) или образовываться в результате медленных гомог. р-ций S_0iDS_i (i=1,2); так же происходит удаление продукта Р, не влияющего на ход р-ции. S₁E, S₁S₂E и S₁S₁ Е - фермент-субстратные комплексы; ингибирование фермента происходит из-за образования неактивного комплекса S₁S₁E. В этой системе имеется 6 динамич. переменных: концентрации субстратов [S₁] и [S₂], фермента [Е] и разл. форм фермент-субстратных комплексов, причем [Е] + [S₂E]+[S₁S₂E]+[S₁S₁E]= е - полная концентрация фермента. Обычно e<<[S₁] и e<<[S₂], поэтому можно применить квазистационарности приближение и представить концентрации фермент-субстратных комплексов как алгебраич. ф-ции концентраций субстратов. В результате поведение системы можно описать двумя дифференц. ур-ниями относительно [S₁] и [S₂]. Удобно использовать безразмерные переменные s₁=[S_l]/K₁ и s₂=[S₂]/K₂ (K₁ и К ₂ -константы Михаэлиса), параметры a₁ и a₂ - скорости поступления субстратов, а также безразмерные комбинации констант скорости элементарных стадий e, b, g, d, ( и безразмерное время t. Тогда дифференц. ур-ния принимают вид:    Рассмотрим случай, когда эта система имеет два устойчивых стационарных состояния - бистабильную систему, или триггер. Если a₂>>a₁/e, т. е. скорость р-ции S₀₂DS₂ очень велика по сравнению со скоростью р-ции S₀₁DS₁ и скоростью ферментативной р-ции, то [S₂] постоянна и равна [S₀₂]. В этом случае поведение системы описывается только одним ур-нием (3.1). Зависимости ds_l/dt от s₁ при разных значениях a₁ показаны на рис. 1, а. Пунктирные кривые соответствуют бифуркац. значениям параметра a-a'₁ и a:₁, а кривые, заключенные между ними, трижды пересекают ось абсцисс. Точки пересечения соответствуют стационарным состояниям s₁⁰¹, s₁⁰² и s₁⁰³, среднее из к-рых s₁⁰² неустойчиво и разделяет области притяжения устойчивых состояний s₁⁰¹    Рис. 1. Ферментативная система с тремя стационарными состояниями (биохим. триггер): a зависимость скорости ds₁/dt изменения безразмерной концентрации субстрата S₁, от ее значения (s₁) при разл. скоростях (a₁) поступления субстрата; пунктиром обозначены кривые, соответствующие бифуркац. значениям a'₁ и a "₁; 6 - зависимость стационарных значений s⁰₁ от a₁; s₁⁰¹ и s₁⁰³ устойчивые, s₁⁰² - неустойчивое стационарные состояния.

и s₁⁰³. На кривой зависимости стационарной концентрации s₁⁰ от a₁ (рис. 1, б) область с тремя стационарными состояниями лежит в интервале (a'₁,a "₁). При прямом и обратном медленном изменении параметра a₁ происходит движение системы по различным траекториям, т. е. гистерезис. Следует отметить, что описанную бистабильность можно получить в системе с односубстратной р-цией, к-рая ведет себя аналогично двухсубстратной р-ции с фиксир. концентрацией одного из субстратов. Чтобы система с одной переменной и бистабильностью стала колебательной, нужно превратить параметр в медленную переменную. В ферментативной системе с двумя субстратами таким параметром, естественно, является концентрация второго субстрата s₂. В этом случае для описания системы нужно использовать оба ур-ния (3). Относительные изменения концентрации S₂(D[S₂]/[S₂]) будут медленными по сравнению с относительными изменениями S_l, если [S₂]>>[S₁]. При переходе к безразмерным параметрам это условие принимает след, вид: a₁~a₂~1, e<<1. На фазовой плоскости с координатами s₁,s₂ поведение системы качественно определяется взаимным расположением нуль-изоклин-кривых, на к-рых производные ds₁/dt и ds₂/dt равны 0 (рис. 2, а). Точки пересечения нуль-изоклин соответствуют стационарным состояниям системы. Пунктиром показано положение нуль-изоклины ds₁/dt=0 при бифуркации, сопровождающейся возникновением устойчивых колебаний (автоколебаний) малой амплитуды. Этим колебаниям соответствует замкнутая траектория движения системы - т. наз. предельный цикл. Сплошными линиями показаны нуль-изоклины в ситуации, далекой от бифуркации, когда единственное стационарное состояние системы (точка Она рис. 2, а) сильно неустойчиво и окружено предельным циклом ABCD. Движению системы по этому предельному циклу соответствуют автоколебания концентраций s₁ и s₂ с большой амплитудой (см. рис. 2, б).    Рис. 2. Автоколебания (устойчивые колебания) в модельной ферментативной системе: a-фазовая плоскость в координатах s₁-s₂ с нуль-изоклинами ds₁/dt=0, ds₂/dt=0; пунктиром показано положение нуль-изоклины ds₁/dt=0, соответствующее колебат. бифуркации, и малый предельный цикл, окружающий потерявшее устойчивость стационарное состояние О, ABCD большой предельный цикл; б - автоколебания концентраций s₁ и s₂, соответствующие большому предельному циклу ABCD.

В ходе К. р. наблюдались периодич. колебания разл. формы: синусоидальные, пилообразные, прямоугольные и т. д.; модулированные, квазипериодические и стохастические. Периоды большинства К. р. лежат в диапазоне от долей секунды до десятков минут. К жидкофазным К. р. относятся, напр., диспропорционирование Н ₂ О ₂ и S₂O₄^2-, окисление разл. в-в галогенкислородными соед., окисление углеводородов и сульфидов кислородом. Хорошо изучена Белоусова - Жаботинского реакция, идущая в водном р-ре, где НВrO₃ при катализе ионами металлов переменной валентности окисляет разл. орг. соед., в частности малоновую к-ту. Газофазные К. р. обнаружены и исследованы при окислении паров фосфора, углеводородов, СО и др. соединений. Во всех случаях существенны как объемные стадии р-ции, так и обрыв и зарождение цепей на стенках реактора, а также ускорение р-ций за счет разогрева системы в результате экзотермич. стадий (тепловой автокатализ). Возможны чисто термокинетич. автоколебания, когда тепловой автокатализ является единств, причиной неустойчивости. Простейшая модель термокинетич. колебаний в проточном реакторе имеет вид: В ₀:В:Р+Q. Здесь в-во В поступает в проточный реактор идеального смешения, где происходит мономолекулярная экзотермич. р-ция распада; выделяющееся тепло отводится через стенку реактора. Кинетика этой р-ции описывается двумя дифференц. ур-ниями относительно концентрации В и т-ры Твнутри реактора:    где [В ₀] - приведенная концентрация на входе в реактор, Т ₀ - т-ра стенки реактора, k - коэф. скорости обновления реакц. смеси в реакторе, h - коэф. скорости теплообмена, Q - тепловой эффект р-ции, С _р -> теплоемкость при постоянном давлении, r - плотность, Еи А- энергии активации и предэкспоненциальный множитель р-ции соотв., R - газовая постоянная. В этой системе саморазогрев ускоряет р-цию, что приводит к исчерпанию В в реакторе и замедлению р-ции; затем концентрация В растет вследствие его поступления в реактор и цикл повторяется. Гетерог. К. р. имеют место при окислении СО, Н ₂, NH₃, С ₂ Н ₄, СН ₃ ОН на катализаторах платиновой группы. Часто колебания наблюдаются при растворении или осаждении металлов на границе металл - раствор. Обычно эти К. р. связаны с электрохим. р-циями образования новой фазы. На рис. 3, а-е показаны примеры различных    Рис. 3. Автоколебания в разл. хим. системах: аколебания концентрации I₂ при разложении Н ₂ О ₂ в присут. IО ₃; 6колебания окислит.-восстановит. потенциала E⁰ р-ра при окислении S₂O₃^2- хлоритом; вколебания интенсивности I хемилюминесценции при газофазном окислении СО; г - колебания т-ры DT⁰ при газофазном окислении СН ₃ СНО; д - колебания конц. О ₂ при окислении Н ₂ на Ni; е - колебания электродного потенциала E при растворении Fe в HNO₃.

автоколебат. хим. систем. К. р. может протекать и в распределенной системе, где имеется диффузионная связь между отдельными элементами пространства, напр. при р-циях в тонком слое неперемешиваемой жидкости. В таких случаях возникают бегущие концентрац. волны. Колебания могут возникать при работе проточных реакторов (напр., при полимеризации этилена, окислении СО). Обычно они вредны, снижают однородность продукта, приводят к аварийным ситуациям. Однако в ряде случаев проведение р-ции в колебат. режиме может быть полезным. Напр., средняя скорость каталитич. окисления SO₂ на V₂O₅ возрастает в колебат. режиме на 15%; в ряде процессов полимеризации в результате колебаний скорости подачи мономера снижается полидиспeрсность продукта. К. р. лежат в основе ряда важнейших биол. процессов: генерации биоритмов, мышечного сокращения и т. д. Важнейшая биол. К. р.- генерация нервных импульсов, вызываемая изменением проницаемости трансмембранных ионпроводящих каналов.Лит.: Жаботинский А. М., Концентрационные автоколебания, М., 1974; Вольтер Б. В., Сальников И. Е., Устойчивость режимов работы химических реакторов, М.. 1981; Полак Л. С., Михайлов А. С.. Самоорганизация в неравновесных физико-химических системах, М., 1983; Гарел Д., Гарел О., Колебательные химические реакции, пер. с англ., М., 1986; Колебания и бегущие волны в химических системах, под ред. Р. Дж. Филда и М. Бергера, пер. с англ., М., 1987. А. М. Жаботинский.

Химическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. Под ред. И. Л. Кнунянца. 1988.

Колебания и волны

Колебательные и волновые процессы изучают в одном разделе. Этим подчеркивается большое значение учения о колебаниях в современной науке и технике и то общее, что присуще этим движениям независимо от их природы. Нужно сказать, что при решении задач этой темы учащимися и абитуриентами делается много ошибок, которые происходят из-за неверного толкования некоторых основных понятий.  В процессе решения задач можно научиться пользоваться соответствующими формулами, осознать те специфические отличия, которые имеет колебательное движение по сравнению с равномерным и равнопеременным.  В этих целях сначала решают задачи по кинематике колебательного движения материальной точки. Как частный, но важный случай этого движения рассматривают движение математического маятника.  Вопросы динамики колебательного движения и превращения энергии углубляют с помощью задач об упругих колебаниях и задач о математическом маятнике.

1. Колебательным движением называют движение, при котором происходит частичная или полная повторяемость состояния системы по времени.  Если значения физических величин, характеризующих данное колебательное движение, повторяются через равные промежутки времени, колебания называют периодическими. Самым простым колебательным движением является гармоническое колебание материальной точки.Гармоническим называют колебание, в процессе которого величины, характеризующие движение (смещение, скорость, ускорение, сила и т.д.), изменяются с течением времени по закону синуса или косинуса (гармоническому закону).  Гармонические колебания являются простейшими, так что различные периодические процессы могут быть представлены как результат наложения нескольких гармонических колебаний.

рис. 1 (а, б, в)

Основные законы гармонических колебаний материальной точки можно установить из сопоставления равномерного кругового движения точки и движения ее проекции на диаметр окружности.  Если точка В, обладающая массой m, равномерно перемещается по окружности радиусом R с угловой скоростью ω (рис. 1а), то ее проекция на горизонтальный диаметр — точка Ссовершает гармонические колебания вдоль оси ОХ. Смещение точки С от начала отсчета О движения — ее координата х в каждый момент, времени определяется уравнением где t — время, прошедшее с начала колебаний; (φ+φ₀) — фаза колебаний, характеризующая положение точки С в момент начала отсчета движения (на чертеже начальная фаза φ₀ = 0), x_m= R— амплитуда колебания (иногда ее обозначают буквой А). Раскладывая вектор линейной скорости  и вектор нормального ускорения  по осям ОХ и OYрис. 1(б, в), для модулей составляющих и  (скорости и ускорения точки С) получим: Поскольку уравнения скорости и ускорения точки, совершающей гармонические колебания, можно представить в виде: Знак «минус» в последней формуле указывает на то, что ускорение при гармоническом колебании направлено в сторону, противоположную смещению. Из полученных соотношений следует, что: а) максимальные значения скорости и ускорения колеблющейся точки равны:   б) скорость и ускорение сдвинуты друг относительно друга на угол .  Там, где скорость наибольшая, ускорение равно нулю, и наоборот. в) Во всех точках траектории ускорение направлено к центру колебаний — точке О.

2. Учитывая формулу для ускорения, уравнение второго закона Ньютона для материальной точки, совершающей гармонические колебания, можно представить в виде где F есть величина равнодействующей всех сил, приложенных к точке, — величина возвращающей силы. Величина возвращающей силы также изменяется по гармоническому закону.  Произведение mω² стоящее в правой части этого уравнения, — величина постоянная, поэтому материальная точка может совершать гармонические колебания лишь при условии, что в процессе движения возвращающая сила изменяется пропорционально смещению и направлена к положению равновесия, т. е. F = − k·m. Здесь k — постоянный для данной системы коэффициент, который в каждом конкретном случае может быть выражен дополнительной формулой через величины, характеризующие колебательную систему, и в то же время всегда равный mω².

3. Кинетическая энергия гармонически колеблющейся точки равна: В процессе гармонического колебания сила изменяется пропорционально смещению, поэтому в каждый момент времени потенциальная энергия точки равна: Полная механическая энергия колеблющейся точки При гармоническому закону происходит превращение энергии из одного вида в другой.

4. Другой пример получения уравнений гармонических колебаний. Тот факт, что движение вращающейся по окружности материальной точки происходит по синусоидальному закону, наглядно демонстрирует рис. 2. Здесь по оси абсцисс откладывается время колебания, а по оси ординат — значения проекции радиуса-вектора движущейся точки в соответсвующий момент времени.

рис. 2

В случае движения проекции точки по оси OY уравнение колебательного движения запишется так: (1) Отсчет времени и измерение y и ведется с момента прохождения тела через положение равновесия (при t = 0 х = 0).  При движения проекции точки по оси OX уравнение запишется в виде  (2). отсчет времени ведется с момента наибольшего отклонения тела от положения равновесия, которое также принимают за начало отсчета (при t = 0 х = х_m). Так, например, поступают, когда подсчитывают время и число колебаний маятника, поскольку трудно зафиксировать его положение в средней точке, где он имеет максимальную скорость.  Теперь, применив понятие производной функции, можно найти скорость тела. Дифференцируя уравнение (1) по времени t (первая производная), получим выражение для скорости тела (материальной точки):  Дифференцируя полученное выражение еще раз по времени t (вторая производная), определим ускорение колеблющейся точки:  Как показывает практика, учащиеся трудно усваивают понятие о круговой частоте.  Из этого выражения следует, что круговая частота равна числу колебаний, совершаемых материальной точкой за  секунд. Нужно обратить внимание на то, что под знаком тригонометрической функции всегда стоит фаза колебаний. Фаза колебаний определяет величину смещения в момент времени t, начальная фаза определяет величину смещения в момент начала отсчета времени (t = 0). Иногда абитуриенты, рассматривая колебания математического маятника, называют фазой угол отклонения нити от вертикали и тем самым делают ошибку. В самом деле, если представлять себе фазу как угол, то как, например, можно увидеть этот угол в случае гармонических колебаний груза на пружине? Фаза колебаний — это угловая мера времени, прошедшего от начала колебаний. Любому значению времени, выраженному в долях периода, соответствует значение фазы, выраженное в угловых единицах. Ниже в таблице указано соответствие значения фазы φ значению времени t(считаем, что φ₀ = 0).

t	φ

Смещение х, скорость и ускорение а могут иметь одно и то же значение при разных углах или времени t, так как они выражаются циклическими функциями.  При решении задач, если это специально не оговаривается, за угол можно принимать его наименьшее значение.

5. Уравнения колебательного движения остаются одинаковыми для колебаний любой природы, и для электромагнитных колебаний в том числе.  В этом случае можно рассматривать, например, колебания величины заряда (q_i), э.д.с. (e_i), силы тока (i), напряжения (u), магнитного потока (Ф_i) и др. При этом в левой части уравнений стоят мгновенные значения указанных величин.

Частота и период электромагнитных колебаний колебаний (формула Томсона):

Волновым движением называется процесс распространения колебаний в среде. Частицы среды, в которой распространяется волна, не переносятся вместе с волной, а лишь совершают колебания около своего положения равновесия.  В поперечной волне они колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны, в продольной — вдоль направления распространения волны.  Распространяясь в среде, волна переносит с собой энергию от источника колебаний. Механические поперечные волны могут возникать только в твердой среде.  Возникновение продольных волн возможно в твердой, жидкой и газообразной средах.

Параметрами волн являются: энергия, длина волны λ (лямбда), частота ν (ню), период колебанийT, скорость υ.

1. Волнам присущи одинаковые свойства и явления: отражение от границы раздела двух сред, в которых распространяется волна, преломление — изменение направления волны при после ее прохождения границы раздела двух сред, интерференция — явление наложение волн, в результате которого происходит усиление или ослабление колебаний, дифракция — явление огибания волнами препятствий или отверстий.  Условием возникновения интерференции является когерентность волн — они должны иметь одинаковую частоту колебаний и постоянную разность фаз этих колебаний.  Условие максимумов (усиления волн):    Максимумы колебаний при интерференции возникает в тех точках среды, для которых в разности хода волн укладывается четное число полуволн. Условие минимумов (ослабление волн):   Минимумы колебаний при интерференции возникает в тех точках среды, для которых в разности хода волн укладывается нечетное число полуволн.