- •1. Источники и классификация погрешностей
- •2. Постановка задачи приближённого решения алгебраических уравнен
- •3. Метод половинного деления.
- •4. Метод хорд
- •5. Метод касательной
- •6. Комбинированный метод хорд и касательных
- •7. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
- •8. Вычисление определителя и обратной матрицы методом Гаусса
- •9. Решение систем уравнений методом простой итерации
- •10. Метод Зейделя
- •11. Постановка задачи аппроксимации функций
- •12. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •13. Интерполяционные многочлены Ньютона
- •14.Интерполяция сплайнами.
- •15.Квадратурные формулы Ньютона - Котеса. Формула трапеций.
- •16.Квадратурные формулы Ньютона - Котеса. Формула Симпсона.
- •Формула Симпсона
- •17.Квадратурные формулы Гаусса.
- •19.Метод Эйлера.
- •20.Модификации метода Эйлера. Метод Эйлера - Коши.
- •21.Модификации метода Эйлера. Метод серединных точек.
- •22.Метод Рунге - Кутта.
- •23.Методы минимизации функции одной переменной: метод Фибоначчи, метод золотого сечения.
- •24.Методы минимизации функции одной переменной: оптимальный пассивный поиск, метод деления отрезка пополам.
- •25.Многомерные методы оптимизации.
22.Метод Рунге - Кутта.
Основная идея метода: В рабочих формулах нужно использовать саму функцию f(x;y) и на каждом шаге вычислять её значения в нескольких точках. Пусть дано диф. ур-ие по методу Эйлера выразим
. Т.к. для вычисления производной взяты 2 точки Ni и N(i+1) то лучшим приближением правой части диф. ур-ия будет значение , тогда полученные ур-ия относительно можно решать, взяв в качестве начального приближения значения от метода эйлера получим:
, где
Формы метода Рунге-Кута 2-го порядка.
Чем выше порядок формул Рунге-Кута, тем более точное значение они дают. Наиболее распространёнными являются формулы 4-го порядка.
, где
Оценить погрешность можно с помощью метода двойного счёта
Допустим – точное решение уравнения , тогда для формул Рунге-Кута 4-ого порядка , где k-шаг, с которого вычислено приближённое значение, точно так же при решении с шагом получим:
= при достаточно малом шаге h и малой погрешности вычислений решение диф. ур-ия методом Рунге-Кута 4-ого порядка будет близким к точному.
Пусть при решении диф. ур-ия строится таблица с шагом h и аргументами для них находят соответствующие значения
Для тех же аргументов находят улучшенные приближения тогда для метода Эйлера
Для модификации метода Эйлера:
23.Методы минимизации функции одной переменной: метод Фибоначчи, метод золотого сечения.
Одно из важнейших направлений в проектировании и эксплуатации технологических процессов состоит в оптимизации (минимизации или максимизации) некоторой характеристики f(x). Функцию f(x) называют целевой функцией. Основное внимание уделяют минимизации целевой функции, так как максимизация сводится к минимизации с помощью введения новой целевой функции z(x) = - f(x). В случае, когда изменяется один скалярный параметр х, возникает задача одномерной минимизации, то есть f(x) — действительная функция одной переменной, определенная на множестве R.
Существуют различные постановки задачи минимизации:
-
найти все точки локального минимума и отвечающие им значения функции;
-
вычислить конкретную точку локального минимума или точку глобального минимума;
-
найти минимальное значение целевой функции, независимо от того, в какой именно точке оно достигается.
Для того чтобы применить один из алгоритмов минимизации, следует предварительно найти отрезок [а,b], содержащий точку х* на котором она является единственной точкой локального минимума. Этот отрезок называется отрезком локализации точки х*.
Пусть f(x) — функция, определенная на отрезке [а, b] . Предположим, что на этом отрезке содержится единственная точка х* локального минимума функции f(x) , причем функция строго убывает при х х* и строго возрастает при х х*. Такая функция называется унимодальной.
Ряд методов минимизации основан на сравнении значений функции f в точках x1 х2,…, xn. Эти методы называются методами прямого поиска, а точки х, - пробными точками.
Пусть требуется найти приближение х * к точке минимума х* функции f, унимодальной на отрезке [а, b]. число пробных точек п заранее фиксируется и за приближение х* к точке минимума принимается одна из этих точек.
Метод деления отрезка пополам требует на каждой итерации вычисления двух новых значений функции. Наблюдения приводят к методам, требующим на каждой итерации (кроме первой) расчета лишь одного нового значения функции. Два наиболее известных среди них — методы Фибоначчи и золотого сечения.
Метод Фибоначчи. Метод Фибоначчи является оптимальным последовательным методом, т. е. методом, обеспечивающим максимальное сокращение отрезка локализации при заданном числе N вычислений функции. Этот метод основан на использовании чисел Фибоначчи F„, задаваемых рекуррентной формулой Fn = Fn-1 + Fn-2 (п2) и начальными значениями Fo=1,F1=1. Метод Фибоначчи состоит из N-1 шагов.
Метод золотого сечения. Из-за недостатков вместо метода Фибоначчи чаще используется почти столь же эффективный метод золотого сечения.
Золотым сечением отрезка называется такое разбиение отрезка на две неравные части, что отношение длины всего отрезка к длине его большей части равно отношению длины большей части к длине меньшей части отрезка.
,
Точка а осуществляет золотое сечение не только отрезка [а, b], но и отрезка [а, β],
Точно так же точка β осуществляет золотое сечение не только отрезка [а, b], но и отрезка [а, b]. Этот факт используется в данном методе.