- •1. Источники и классификация погрешностей
- •2. Постановка задачи приближённого решения алгебраических уравнен
- •3. Метод половинного деления.
- •4. Метод хорд
- •5. Метод касательной
- •6. Комбинированный метод хорд и касательных
- •7. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
- •8. Вычисление определителя и обратной матрицы методом Гаусса
- •9. Решение систем уравнений методом простой итерации
- •10. Метод Зейделя
- •11. Постановка задачи аппроксимации функций
- •12. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •13. Интерполяционные многочлены Ньютона
- •14.Интерполяция сплайнами.
- •15.Квадратурные формулы Ньютона - Котеса. Формула трапеций.
- •16.Квадратурные формулы Ньютона - Котеса. Формула Симпсона.
- •Формула Симпсона
- •17.Квадратурные формулы Гаусса.
- •19.Метод Эйлера.
- •20.Модификации метода Эйлера. Метод Эйлера - Коши.
- •21.Модификации метода Эйлера. Метод серединных точек.
- •22.Метод Рунге - Кутта.
- •23.Методы минимизации функции одной переменной: метод Фибоначчи, метод золотого сечения.
- •24.Методы минимизации функции одной переменной: оптимальный пассивный поиск, метод деления отрезка пополам.
- •25.Многомерные методы оптимизации.
8. Вычисление определителя и обратной матрицы методом Гаусса
Обозначим определитель матрицы коэффициентов системы через D. При делении первого уравнения на ведущий элемент определитель преобразованной системы станет равным и т.д. Прямой ход метода Гаусса приводит матрицу коэффициентов к треугольному виду с единицами в главной диагонали, определитель такой матрицы равен 1, следовательно определитель исходной матрицы равен произведению ведущих элементов в методе Гаусса.
9. Решение систем уравнений методом простой итерации
A*X=B. Пусть задана система n линейных уравнений с n уравнениями, приведем систему к виду X=A*X,
=++…++; система приведенная к нормальному виду
=++…++;
……………………………………
=++…++.
Метод применим, если выполняется одно из условий:
-
Максимальная из сумм модулей коэффициентов при переменных в правой части системы нормального вида взятых по строкам должна быть меньше 1, т.е. =<1
-
Максимальная из сумм модулей коэффициентов при переменных в правой части системы нормального вида взятых по столбцам должна быть меньше 1, т.е.=<1
-
Сумма квадратов всех коэффициентов при переменных в правой части системы нормального вида должна быть меньше 1, т.е. =<1
Для применения метода необходимо, чтобы коэффициенты и j было много меньше 1. Для этого с помощью элементарных преобразований получают равносильную систему, у которой наибольший по абсолютной величине коэффициенты при переменных стоят в главной диагонали – система с преобладающими диагональными коэффициентами. Затем все уравнения делят на соответствующий диагональный коэффициент. После чего из каждого уравнения выражают переменную с единым коэффициентом. За начальное приближение берут столбец свободных членов системы нормального вида.
10. Метод Зейделя
A*X=B. Пусть задана система n линейных уравнений с n уравнениями, приведем систему к виду X=A*X,
=++…++; система приведенная к нормальному виду
=++…++;
……………………………………
=++…++.
Пусть уже имеется приближение ;…. Элементы вычисляемого приближения обозначим ;…. Основная идея метода: на каждом шаге итерационного процесса при вычислении значения учитывают уже полученные значения ;…, т.е. найденные значения первой переменной уже используют для расчета второй.
11. Постановка задачи аппроксимации функций
Функция f называется табличной, если на некотором отрезке [a;b] D(f) задана таблица ее значений. Аппроксимация функции или ее аналитическое приближение на основе известной таблицы значений - это поиск такой аналитически заданной и достаточно просто вычисляемой функции P, которая в каком-то смысле близка к табличной функции f на всем отрезке [a;b],
x |
|||||
f(x) |
[a;b]=[ ; ]; - табличные аргументы; - табличные значения функции
Если аргументы равностоящие, т.е. -=h=const=0; h-шаг таблицы;=+ih (i=0,1,2,…,n)
Пусть табличная функции f(x) и приближающая функция p(x) считаются близкими, если значения этих функций в табличных аргументах совпадают, т.е. P()= (i=0,1,2,…,n) интерполяционная формула.
Способ аппроксимации с выполнением указанного свойства называется интерполированием. Вычисление значений f(x) с помощью p(x) в точках лежащих между табличными аргументами называют интерполяцией. В этом случае функция p называется интерполирующей функцией, а табличные аргументы ;… называют узлами интерполяции. Чаще всего интерполирующую функцию ищут в виде многочлена (полином) (x)=++…+x+, тогда интерполирование называется полиномерными, а соответствующий многочлен – интерполяционным. Вычисление значений таблично заданной функции f(x) за пределами диапазона значений аргумента отображено в таблице называемой экстраполяцией. Формально экстраполяция ни на чем не основана , но является очень полезным приемом в исследовании процессов и явлений. Для экстраполяции функции можно использовать интерполяционные формулы, например, формулы Ньютона. Для x< применяют первую формулу Ньютона, причем t = <0, при x>применяют вторую формулу Ньютона t = >0.