2. Постановка задачи приближённого решения алгебраических уравнен

Уравнения вида Р_п (х) = 0, где Р_п (х) - многочлен n-ой степени одной переменной, называются алгебраическими уравнениями. Уравнения, содержащие трансцендентные функции, такие, как логарифмическая, показательная или тригонометрическая функция, называются трансцендентными. Рассмотрим способы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным. Каждое такое уравнение можно представить в виде f(x) = 0. (1)

Область определения D(J) функции f называем также областью определения уравнения

Число t называется корнем уравнения (1) или нулем функции f, если при подстановке его вместо х уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение — это значит найти множество всех его корней. Корень называется изолированным, если существует такой непустой интервал, в котором этот корень единственный. Процесс приближенного решения уравнений распадается на два этапа: 1) отделение корней; 2) уточнение корней. Корень t отделен на отрезке [a;b] D(f), если t (а; b) и других корней в этом отрезке нет. При этом [а;b] называем отрезком изоляции корня t. Поиск приближенного значения корня с точностью до заданного достаточно малого числа ε > О называется уточнением этого корня, Следовательно, задача уточнения будет решена, если найдется число х такое, что |t-x|. Тогда tх с точностью до ε .

Отделение корней обычно производится графически и (или) аналитически. Графический способ отделения корней уравнения (1) заключается в поиске таких отрезков [а;b] внутри которых находится абсцисса точки пересечения графика функции у=f(x) с осью Ох, т. е. нуль функции f. Часто для упрощения построений уравнение f(x)=0 заменяют на равносильное ему уравнение f(x) = g(x). Тогда строят графики функций f(x) и g(x), а потом на оси Ох отмечают по возможности наименьшие отрезки, содержащие абсциссы точек пересечения этих графиков. Например: Графически отделить корни уравнения x*lgx=1 (2) Уравнение (2) удобно переписать в виде равенства: Igx =1/x. Отсюда ясно, что корни уравнения (2) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y= lg х и гиперболы у = 1/x. Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень ε уравнения (2) или определим его отрезок изоляции [2, 3].

Результаты графического метода необходимо проверять и уточнять.

Аналитический способ основан на следующих утверждениях: Теорема. Пусть функция f определена и непрерывна на отрезке [а;b], причем на комках его принимает значения разных знаков, т.е. f(а)*f(b)0, Тогда существует по крайней мере одна точкаt t(a;b), в которой значение функции равно нулю, т.е. t — корень уравнения. Если выполняются условия теоремы 1 и при этом функция f(х) - монотонна, то корень t - единственный на отрезке [а;b] Корнями уравнения могут также быть точки максимума и минимума функции f(х). Для их отделения достаточно найти критические точки функции f(x) и вычислить её значения в найденных точках: если получится нуль, то корень уравнения найден.

3. Метод половинного деления.

для него не требуется выполнения условия, что первая и вторая производная сохраняют знак на интервале [a, b]. Метод половинного деления сходится для любых непрерывных функций f(x) в том числе не дифференцируемых.

Разделим отрезок [a, b] пополам точкой . Если (что практически наиболее вероятно), то возможны два случая: либо f(x) меняет знак на отрезке [a, c], либо на отрезке [c, b] Выбирая в каждом случае тот отрезок, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.