Уравнение неразрывности

Уравнение неразрывности выражает закон сохранения массы применительно к жидкой среде.

1. Составим баланс массы жидкости в струйке (см. рис. 2.2). Если через сечение 1-1 в единицу времени вошла масса , то за то же время через сечение 2-2 должна выйти масса , равная (потери массы через границу струйки отсутствуют). Массу жидкости , протекающую через поперечное сечение струйки в единицу времени, называют элементарным массовым расходом.

Легко убедиться в том, что , где – площадь поперечного сечения струйки. Тогда условие равносильно уравнению

. (2.5)

Получили уравнение неразрывности для струйки. Если жидкость несжимаема, т.е. , то и

. (2.6)

П

Рис. 2.3. К выводу уравнения неразрывности

ри этом произведение выражает элементарный объемный расход .

2. Выведем теперь уравнение неразрывности для общего случая движения сплошной среды. Рассмотрим объем ограниченный поверхностью S (рис. 2.3). Пусть – внешняя нормаль к поверхности, а – вектор скорости. Через элемент поверхности dS в единицу времени внутрь объема проникает масса жидкости

.

(учтено, что направления и противоположны) Секундная масса, проникающая в объем через всю поверхность, равна

.

С другой стороны, приток жидкости в объем приводит к изменению ее массы на величину

.

Очевидно, что изменение массы внутри объема должно быть равно массе, поступившей в него извне, т. е.

.

Применяя теорему Гаусса–Остроградского, получаем:

, или .

Ввиду произвольности объема отсюда следует обращение в нуль подынтегрального выражения:

, (2.7а)

или

. (2.7б)

Это и есть уравнение неразрывности.

Рассмотрим частные случаи.

А) Несжимаемая жидкость ():

, или . (2.8)

Входящие в (2.8) частные производные характеризуют скорость относительного удлинения (укорочения) жидкой частицы. Поэтому если частица удлиняется вдоль двух осей, то она должна укорачиваться относительно третьей оси так, чтобы суммарная скорость деформации оставалась нулевой.

Б) установившееся течение ():

, или . (2.9)

Расход и средняя скорость

Выше показано, что объемный расход несжимаемой жидкости в струйке

,

где – скорость в сечении струйки; – площадь ее поперечного сечения. Полный расход найдем суммированием элементарных расходов по всем струйкам, образующим поток:

. (2.10)

Например, для течения жидкости в цилиндрической трубе при использовании полярных координат (,)

,

. (2.11)

Закон изменения скорости по радиусу в общем случае неизвестен. В прикладных расчетах удобно использовать постоянную среднюю скорость потока , равную

. (2.12)

Видно, что средняя скорость – это фиктивная скорость, с которой должны были бы двигаться частицы жидкости для того, чтобы расход был равен его истинному значению.

Уравнение неразрывности для несжимаемого потока приобретает вид

. (2.13)

2.2. Уравнения движения идеальной жидкости. Интеграл Бернулли. Потенциальное движение Вывод уравнений движения

Обратимся к записанным ранее условиям равновесия жидкости

.

Если равнодействующая сила отлична от нуля, среда начнет двигаться с некоторой скоростью, т.е. в соответствии со вторым законом Ньютона частицы жидкости, составляющие жидкое тело, получат ускорение:

.

Используя выражения для элементарных массовой и поверхностной сил, приходим к уравнениям движения идеальной жидкости

(2.14а)

или в проекциях на координатные оси

,

, (2.14б)

.

Найдем выражение для вектора ускорения жидкой частицы . Согласно подходу Эйлера

,

т.е. полный дифференциал

.

Отсюда, разделив обе части на и имея в виду, что

, , ,

получим

.

С учетом последнего выражения (2.14) принимает окончательный вид:

(2.15а)

или

,

, (2.15а)

.

Система уравнений (2.15) также называется уравнениями Эйлера.

Однако для полного описания движения идеальной жидкости этих трех уравнений недостаточно. Для замыкания математической модели используются уравнение неразрывности (2.7), уравнение сохранения энергии в виде 1-го начала термодинамики, уравнение состояния, связывающее давление, плотность и температуру жидкости. На внутренних и внешних границах области течения ставятся граничные условия. Например, на поверхности неподвижного обтекаемого тела нормальная составляющая скорости должна обращаться в нуль. Если изучается неустановившееся течение, то необходимо знать распределения всех гидродинамических величин в начальный момент времени.

В отдельных случаях возможны упрощения модели. Так для описания течения несжимаемой жидкости достаточно использовать уравнения (2.8) и (2.15). В случае адиабатических движений газа уравнение энергии заменяется соотношением

. (2.16)