5.3. Интегральный метод расчета пограничного слоя

Расчет установившегося пограничного слоя значительно облегча­ется, если использовать метод интегральных соотношений.

Ламинарный пограничный слой

Запишем уравнение (5.1) для рассматриваемого случая:

. (5.13)

Умножим уравнение неразрывности (5.2) на и сложим с (5.13):

. (5.14)

В то же время уравнение (5.2) допускает преобразование к виду

. (5.15)

Вычтем из (5.15) уравнение (5.14) и проинтегрируем от 0 до по с учетом граничных условий (5.3):

, (5.16)

или

, (5.17)

где и – введенные выше толщины вытеснения и потери импульса.

Для дальнейшего использования уравнения (5.17) необходимо задать профиль скорости . Польгаузен (1921 г.) предложил использовать степенную зависимость

, (5.18)

где – относительное расстояние до стенки, четыре константы определяются из граничных условий:

, , , , . (5.19)

Здесь введен так называемый формпараметр . После этого находятся все основные величины:

, , (5.20)

, .

С учетом (5.20) уравнение (5.17) запишется так:

, (5.21)

где и – некоторые известные функции, точные выражения для которых опускаем из-за их громоздкости.

Рассмотрим для примера обтекание плоской пластины, когда , . Согласно (5.20) имеем

, ,

и уравнение (5.17) принимает вид

.

Интегрирование этого уравнения с учетом начального условия (толщина ПС нарастает от нуля на передней кромке) дает

, ,

, , (5.22)

что хорошо согласуется с результатами точного решения Блазиуса (5.10).

Турбулентный пограничный слой

В этом случае уравнение (5.17) остается в силе. Однако для профиля скорости принимается другой, эмпирически установленный, закон:

, (5.23)

где 7 для погранслоя на плоской пластине. Выражение для напряжения на стенке берется также по опытным данным:

, (5.24)

где – число Рейнольдса, построенное по толщине слоя.

С учетом двух последних формул (5.17) преобразуется к виду

. (5.25)

Решением задачи является

. (5.26)

Видим, что , тогда как , т. е. толщина турбулентного ПС нарастает более интенсивно по сравнению с толщиной ламинарного ПС. Для напряжения на стенке получаем:

. (5.27)

Коэффициент местного сопротивления трения пластины будет

.

Пример 5.2. Найти коэффициент силы трения плоской пластины при ламинарном и турбулентном режимах течения в ПС.

Решение. Расчет проводим по формуле (5.10).

А) Ламинарный ПС. В примере 5.1 было получено

,

где , . Тогда .

Б) Турбулентный ПС. Рассчитываем с учетом (5.27):

.

Тогда .

В частности, при 10⁶ 1.32810^–3, 4.54310^–3, т. е. при том же самом числе Рейнольдса коэффициент сопротивления при турбулентном движении приблизительно в 3 раза больше, чем при ламинарном.

Отсюда следует важный практический вывод: для уменьшения сопротивления трения обтекаемого тела необходимо добиться увеличения участка ламинарного пограничного слоя и уменьшения участка турбулентного, т.е. необходимо затягивать как можно дальше ламинарное обтекание поверхности.