43.Теорема Ферма

Для любого натурального числа n > 2уравнение

не имеет натуральных решений a, b и c.

Известно, что три числа, удовлетворяющих уравнению (1), должны удовлетворять следующим условиям:

• одно из чисел, например, z, должно быть четным, два других – нечетными;

• числа должны быть взаимно простыми, т.е. попарно не должны иметь общих множителей;

• никакие два числа не могут быть равны друг другу.

Предположим для определенности, что z > x > y.

Очевидно, что число z меньше суммы двух других чисел, т.е.

z < x + y

(2)

Пусть имеется три отрезка длиной z, x, y, удовлетворяющих условию (2). Тогда в силу известной теоремы на этих отрезках можно построить треугольник как на сторонах. Известно, что треугольник, между сторонами которого имеет место соотношение (1), при n > 2 остроугольный.

Тогда для сторон этого треугольника имеет место соотношение, вытекающее из теоремы косинусов:

z² = x² + y² – 2xycosα:

где α – угол между сторонами x и y.