![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •8.Числовая последовательность. Определения, виды, поведение. Определение предела числовой последовательности. Геометрическая иллюстрация.
- •9. Ограниченные ф-ии. Определения, примеры. Теорема о связи ограниченной и сходимости ф-ий к конечному пределу.
- •10. Беконечно большие ф-ии: определение, характеристика порядка ббф, эквивалентные ббф. Примеры.
- •20.Векторы: определение, линейные операции, характер.
- •21.Нелинейные операции над векторами: скалярное произведение векторов. Применение скалярного произведения (определение, свойство)
- •12. Замечательный предел.(определение, вывод формулы). Геометрическая интерпретация Первый замечательный предел.
- •11.Бесконечно малые ф-ии. Определение, характеристика порядка бмф, эквивалентные бмф. Примеры.
- •15. Определители: определение, вычисление, свойства. (Задачник Клейтейнера). Перечислить и какое-нибудь доказать.
- •26. Уравнение прямой в пространстве. Виды уравнений. Их вывод.
- •27. Уравнение плоскости: виды уравнений и их вывод
20.Векторы: определение, линейные операции, характер.
Вектор-отрезок который хар-ся длинной, напр-ем, расположением (на пл-ти или в пр-ве). Длина вектора-число, обознач длину отрезка изображ вектор. Ноль вектор-вектор у которого начало и конец совпадает. единичный вектор-вектор длина которого равна единице. Противопол вектор: вектор противоп вектору а назыв вектор обознач –а и меющ с вектором а одинаковую длину и противопол направление. Векторы по величине не сравниваются(понятие >< не существ). Существ понятие равенство векторов. а=в, если |a|=|b|, направления совпадают, они коллинеарны(т.е распол на одой прямой либо на паралл прямых).
ЛИНЕЙНЫЕ
ОПЕРАЦИИ. Сложение.
Правило параллелогр, треугольника(нарисовать).
Св-ва операций сложения векторов:
а+в=в+а(переместит),а+(в+с)=(а+в)+с(сочитат),
а+(-а)=0. Разность
векторов а и в.
Под разностью векторов а и в (а-в) понимают
такой вектор с, который с вектором в
дает вектор а.(рис) Умножение
вектора на число.
Н*а. н=const, н>0, а сонаправлен с вектором
н*а. |н*а|>|а| в н раз больше длины вектора
а. Говорят при этом что н*а составлен из
вектора а растяжением в н раз без
изменения напревления.
Св-ва. н*а=а*н,
(н+м)*а=н*а+м*а, (нм)*а=н(м*а), с*а=а*а*а*…*а(с
слагаемых), 0*а=0, а/н=(1/н)*а
21.Нелинейные операции над векторами: скалярное произведение векторов. Применение скалярного произведения (определение, свойство)
Скалярное
произведение векторов
равно произведению их длин на косинус
угла между ними. А*в=|a||b|cos
α. Другая форма скалярного произвед
векторов а и в через проекцию о
дного
вектора через другой. Пр в на а=|b|cos
α пр а на в= |a|cos
α, ab=прa
b
|a|=
прb
a
|b|.
cos
α= ab/|a||b|.
Cв-ва
скалярно произведения векторов.
ав=ва, а(в+с)=ав+ас, аа=|a|2,
a0=0a=0.
Условие
перпендикулярности векторов.а┴в
значит cos α=0, α=П/2, ав=0.
Выражение скалярн произвед векторов в
координатн форме.
а{x1,y1,z1},
b{x2,y2,z1}.тройка
векторов I,j,k
назыв коорлин базисам, если эти вектора
удовлетв условия: i на Оx, j на Oy,
k на Оz, их направл-ие соответств с
положительным направлением сист
координат, их длины =1 |i|=|j|=|k|=1-базисные
орты. Если i,j,k координ базис прямых
системы координат, Oxyz,
то каким бы ни был вектор а его можно
представить в виде разложения по базису
I,j,k
которая имеет вид: а=xi+yj+zk, : а1=x1i+y1j+z1k,
: а2=x2i+y2j+z2k.
Ab=
(xi+yj+zk)(
x1i+y1j+z1k)(
x2i+y2j+z2k)=…..=x1x2+y1y2+z1z2,
cos
α= (x1x2+y1y2+z1z2)/
корень(x12+y12+z12)корень(x22+y22+z22).
Ab=0,
x1x2+y1y2+z1z2=0,
a||b,
x1/x2=y1/y1=z1/z2.
Применение
скалярного произведения.
А=FS
22.Нелинейные операции над векторами: векторное произведение векторов, применение (определение, свойства). Векторное произведение векторов а и в назыв вектор, удовлетв следующим условиям: длина этого вектора является произвед длины этого вектора на sin угла между ними (|a||b|sin α) , расположен этот вектор ┴пл-ти векторов а и в, направление этого вектора находится по правилу правой руки. |а×b|=|a||b|sin α, [a×b] ┴a, [a×b] ┴b. Св-ва векторн произвед векторов. [a×b] = -[b×а], a×[b+c]=a×b+a×c, a×a=0. координаты векторного произвед векторов. a{x1, y1,z1} b{x2,y2,z2}. (формула) Условие коллинеарн-ти векторов в координ-ой форме. a||b следоват a×b=0. Применение векторного произвед векторов: в геометрии. Длина векторного произв векторов а и в численно равна пл-ди параллелогр постр на векторах а и в. В физике момент силы на вектор плеча M=F×OM.
24.Уравнение прямой на плоскости: все виды перечислить и уметь выводить уравнение прямой на плоскости (в векторной+координатной форме)
дано:
M0€l,
N┴l,
1) M€l
2) M0M€l
M0M{x-x0,y-y0}
3) N┴M0M
(рассмотр располож векторов) т.к N┴l,
M0M€l
(условие ┴векторов M и M0M)
4) N*M0M=0-уравнение
прямой, прох через заданную точку. Это
усл записыв в координ форме A(x-x0)+b(y-y0)=0,
M(x0,y0)
€l,
M(x,y)-текущая
точка на прямой. Уравнение
прямой с угловым коэффициентом, прох
через задан точку.
A(x-x0)+B(y-y0)=0,
y-y0=-(A/B)(x-x0),
K=-A/B-угловой
коэфициент, y-y0=K(x-x0),
K=tg
α-угол наклона прямой l
к оси Ox.
Уравнение
прямой в общем виде.
A(x-x0)+B(y-y0)=0,
Ax+By+(-Ax0-By0)=0,
(-Ax0-By0)=const=C,
Ax+By+C=0-уравнение
прямой в общем виде. N{A,B}┴l,
M(x,y)-текущая
точка на прямой. Уравнение
прямой с угловым коэффициентом.
Ax+By+C=0, y=-A/b x –C/b;
k=-A/B;
b=-C/B,
y=Kx+B,
k-угловой
коэффициент прямой, k=tgα.
Уравнение
прямой в нормальном виде.M{x,y}
€l,
m
┴l,
M1=m×l,
OM{x,y},
OM1=p=прmOM.
направление вект m можно определить по
напр вект р0
– единичный вектор этого направл.
p=прр0ОМ=
(ро
OM)/|p0|,
p=
(ро
OM)/|p0|,
|po|=1,
p0{cos
α,cos
β}, cos
β=cos(90-
α), cos
β=sin
α, po{cos
α,sin
α}, cos2
α+sin2
α=1, p=
(ро
OM)/|p0|,
p=p0
OM
-нормальное
уравнение прямой в векторной форме,
p=xcos α+ysin
α, -p+xcos
α+ysin
α=0-уравнение
прямой в нормальном виде, р-свободный
член. Уравнение
прямой прох через 2 заданные точки
М1М2
×М1М=0
– уравнение прямой в векторной форме
прох через 2 заданн точки.
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).
Уравнение
прямой в каноническом виде.
(x-x0)/m=(y-y0)/n,
S{m,n}-направляющий
вектор прямой, M(x,y)-текущая
точка на прямой. Параметрич
уравнение прямой
x=mt+x0
и y=nt+y0-параметрич
уравнение прямой, n,m-координаты направл
вектора прямой.
25.Уравнение прямой на плоскости в полярном виде. Полярное уравнение прямой.
M(ρ,φ)-текущая
точка на прямой l,
m┴l,
M1=m×l,
OM1=прмOM=p,
p=ρcos(α-φ)-уравнение
прямой в полярных координатах.
28.Расположение прямой на плоскости.
l1||l2, A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0, N1||N2 (если они паралл или совпадают) A1/A2=B1/B2 или A1/A2=B1/B2=C1/C2 – если прямые совпадают
2) пересечение прямых
l1┴l2 и N1┴N2, N1N2=0, A1A2+B1B2=0-условие ┴ прямых.
как углы с взаисно перпендик сторонами. cos α=N1N2/|N1||N2|, cosα=(A1A2+B1B2)/корень(A12+B12)корень(A22+B22)-
нахожление угла между пересек прямыми. Другая формула нахождения угла.
α1-угол между l1 и Ox, α2-угол между l2 и Oy, tg α1=K1, tg α2=K2, φ= α2 – α1,tgφ=tg(α2-α1), tg φ=(tg α2-tg α1)/(1+tg α2tg α1), tg φ=(K2-K1)/(1-K2K1), если φ=180, то l1||l2, tg φ=0 K1=K2 если φ=90, l1 ┴l2 tg φ→∞. 1+K1+K2=0 → K1K2=-1