1.4. Истечение высоковязкой жидкости из сосуда

Число лежит в основе вселенной.

Пифагор.

Сила рождается из ограничений, а свобода ее губит.

Леонардо да Винчи

Полученные выше расчетные выражения правомерны только в случае течения маловязких жидкостей в турбулентном режиме (т.е. при больших числах Рейнольдса). Формулой Торричелли можно пользоваться лишь при больших числах Рейнольдса. В случае значительной вязкости жидкости коэффициент расхода непостоянен и зависит от критерия Рейнольдса.

Выше было показано, что объемный расход жидкости при истечении из открытого сосуда определяется формулой

.

При этом для турбулентного режима мы полагали постоянное значение коэффициента расхода =const  0,63. В широком интервале чисел Рейнольдса экспериментально установлена следующая зависимость (Re), которая представлена на рис. 1.5. Для Re50, что соответствует ламинарному течению высоковязкой жидкости, зависимость носит линейный характер и аппроксимируется формулой =Re/25,2. Соответственно, область непосредственного использования формулы Торричелли (с =const, горизонтальный участок линии рис. 1.5) ограничена значениями Re>50.

Рассмотрим истечение высоковязкой жидкости конечного объема из сосуда с отверстием в дне. Условие равенства элементарных объемов (см. предшествующую задачу) записывается

,

где , - число Рейнольдса для условий слива. Отметим, что в качестве характерной скорости в числе Рейнольдса используется скорость слива по Торричелли.

Таким образом, для скорости истечения в ламинарном режиме можно записать

.

Соответственно, дифференциальное уравнение сохранения объема жидкости, примет вид

.

Разделим переменные и проинтегрируем, с учетом начального условия t=0, h=h₁

.

В результате интегрирования находим время слива

.

Согласно полученному выражению время слива пропорционально вязкости жидкости (). Для сокращения времени слива достаточно, например, жидкость подогреть. Необходимо отметить, что при полном сливе h₂=0, . Полученное решение имеет ограничение, поскольку при малых уровнях жидкости происходит прорыв мениска и картина течения существенно меняется.

Если над поверхностью жидкости избыточное давление (сосуд закрытый PP_атм) то время слива сокращается, и расчетная формула приобретает вид

.

Пределы применяемости полученных формул определяются неравенством .

Пример.

Цилиндрический сосуд диаметром D=0,1 м и высотой h=0,1 м заполнен глицерином (вязкость μ=1 Па^.с, плотность ρ=1260 кг/м³). За какое время вытечет половина объема жидкости через отверстие в дне сосуда, если диаметр отверстия d=5 мм?

Решение.

Используем формулу

.

Подставив численные значения, получим

.

Задачи.

1. Как повлияет на продолжительность слива, в условиях предыдущей задачи, подогрев глицерина?

2. Определить кинематическую вязкость жидкости (ν=μ/ρ), если время половинного опорожнения сосуда диаметром 2 см. с отверстием диаметром 2 мм составило 300 секунд.