2.5. Нестационарная теплопроводность неограниченного цилиндра

Математик, прежде всего, любит симметрию.

Максвелл

Будучи не в силах постичь действительность,

мысль ограничивается тем, что подражает ей.

А. Камю

Задача связана с процессами формования термопластов и реактопластов. Многие формуемые изделия содержат в качестве элементов цилиндрические участки. Без большой погрешности можно пренебречь продольной теплопроводностью и учитывать только радиальную теплопроводность. В этом случае цилиндрический элемент можно рассматривать как бесконечный цилиндр. Представленное решение задачи одинаково правомерно для случаев нагрева или охлаждения цилиндра. На поверхности цилиндра имеет место теплообмен по закону Ньютона.

Рассмотрим граничные условия 3-го рода. Имеет место регулярный тепловой режим. Расчетная схема и система координат представлены на рис. 2.4а.

Уравнение энергии и краевые условия для данной задачи, с учетом условия отсутствия продольного теплового потока имеет вид

Введем безразмерные переменные и параметры

.

При этом задача примет вид

.

Ищем приближенное решение в форме, удовлетворяющей граничным условиям

.

Таким образом, мы имеем фиксированный профиль температуры в поперечном сечении цилиндра. Неизвестная функция безразмерного времени а определяется методом Галеркина из уравнения теплопроводности.

Запишем условие ортогональности невязки уравнения теплопроводности к координатной функции

.

Невязка имеет вид

.

имеем интеграл

.

Раскроем скобки в подынтегральном выражении

.

Выполнив интегрирование, получим дифференциальное уравнение первого порядка для неизвестной функции а

.

Разделим переменные и проинтегрируем с учетом начального условия

.

Получим расчетное выражение для функции а

.

Постоянная а₀ находится из интегрального начального условия

.

В раскрытой форме условие имеет вид

.

Выполнив интегрирование, найдем значение постоянной

.

Предельные случаи. При высокой интенсивности охлаждения можно положить Вi. Граничное условие третьего рода переходит в граничное условие 1-го рода. Расчетное выражение для безразмерной температуры при этом будет иметь вид

.

При низкой интенсивности теплообмена можно считать, что Вi<0,1, т.е. задача внешняя. Расчетное выражение для безразмерной температуры в этом случае примет вид

.

Или после упрощений

,

где . Интересно отметить, что в этом случае коэффициент теплопроводности материала цилиндра не влияет на теплообмен. Интенсивность теплообмена определяется значением коэффициента теплообмена и теплоемкостью материала цилиндра.

Пример.

Полимерная цилиндрическая заготовка охлаждается на воздухе. Начальная температура 100 ^оС. Сколько времени потребуется для достижения температуры в центре 40 ^оС? Температура окружающей среды

20 ^оС. Диаметр заготовки 2 см. Коэффициент теплоотдачи 20 Вт/м²К. коэффициент теплопроводности 0,4 Вт/мК, температуропроводности 4^.10^-7 м²/с.

Решение.

Найдем число Био

.

Следовательно, внутреннее и внешнее термические сопротивления соизмеримы. Используем расчетную формулу для общего случая

.

Центру отвечает координата х=0. Найдем безразмерную температуру центра

.

Подставим численные значения в формулу

.

Выполнив математические действия, запишем

.

Найдем число Фурье

.

Откуда находим время

.

Приблизительно 10 минут.

Задачи.

1. В условиях примера найти время охлаждения поверхности до температуры 40 ^оС.

2. Найти расход тепла.