![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Кафедра информационных систем в экономике «Исследование систем управления»
- •Барнаул – 2007
- •Темы практических и семинарских занятий:
- •© Алтайский государственный университет 1997, 2000, 2003, 2007.
- •I. Теоретические модели принятия решений
- •Принятие решений в условиях определенности
- •Принятие решений в условиях риска
- •Принятие решений в условиях неопределенности
- •Экономико-математические модели распределения работ
- •Оценка квалификационных характеристик работников
- •Задачи распределения ресурсов
- •Механизм обратных приоритетов
- •Конкурсный механизм
- •Механизм открытого управления
- •Задание:
- •Механизмы контроля в системах управления
- •Построение модели контроля
- •Решение игры (4)-(5) – механизм мк-1.
- •Решение игры (4)-(5) – механизм мк-2.
- •Задания для исследования механизмов контроля
- •Теория графов, дерево целей, дерево решений
- •Коэффициент взаимной полезности
- •Модель оценки потребительских предпочтений
- •Методы экспертной оценки системы управления
- •Методы проведения экспертного опроса
- •Групповые методы опроса
- •Метод комиссии
- •Метод суда
- •Метод мозговой атаки
- •Синектика
- •Метод Дельфи
- •Математические подходы выявления согласованности экспертов
Построение модели контроля
Считаем,
что центр контролирует исполнителя с
вероятностью
,
которую он выбирает из условия минимизации
своих издержек
.
Эти издержки монотонно возрастают по
и по
.
При выборочном контроле с вероятностью
ожидаемый штраф исполнителя равен
.
Для выбора оптимальных стратегий центра и исполнителя рассматриваем, таким образом, следующую игру:
Задача центра
.
(4)
Задача исполнителя
. (5)
Введенную модель системы контроля следует рассматривать в рамках теории иерархических игр1, так как центр в ней имеет преимущественные права в выборе механизма контроля и параметров. Ниже покажем, что теория иерархических игр позволяет получить механизмы контроля МК-1 и МК-2.
Решение игры (4)-(5) – механизм мк-1.
Способ контроля, описанный выше как механизм МК-1 получим путем решения следующих математических задач:
1.
Находим реакцию исполнителя
на разные значения
из задачи
. (6)
Откуда
. (7)
2.
Находим оптимальную частоту контроля
из задачи:
. (8)
Получаем параметры МК-1
. (9)
Числовой пример.
Пусть
.
Тогда
найдем решение задачи:
. (10)
Здесь
параметр
характеризует издержки центра от
неполной исполнительности в данной
экономической системе, а задачу (10)
получаем подстановкой выражения (7) в
выражение (8).
Решение задачи (10) имеет вид:
. (11)
Заметим,
что формула (11) отражает принцип контроля,
при котором увеличение жесткости
показания (параметра
)
ведет к снижению частоты контроля
(параметр
).
Решение игры (4)-(5) – механизм мк-2.
Согласно теории иерархических игр данный механизм использует следующее правило контроля:
(12)
где
- согласованная с исполнителем частота
контроля
и «разрешенный» уровень неисполнительности
,
находятся решение следующей задачи:
; (13)
(14)
В
выражении (13), (14)
- гарантированный результат исполнителя;
функцию
определим ниже;
- константа, характеризующая уступку
центра для заинтересованности исполнителя
в использовании механизма МК-2. Выбор
параметра
в рамках иерархических игр не формализуется;
считается внешним фактором. При
уступки отсутствуют. В выражении (12)
- стратегия наказания исполнителя,
которая отыскивается из минимакса
. (15)
В нашем случае стратегия наказания имеет вид
,
для всех
(16)
и показывает, что в МК-2 центр «наказывает» неисполнительность жестким контролем, как это описано выше.
Гарантированный
результат
найдем решением следующей задачи.
. (17)
В данном случае оно совпадает с решением задачи (2) (см. также выражение (3)).
Рассматриваем задачу (13), (14). С учетом (17) ограничение (14) можно представить следующем виде:
. (18)
Для
любой монотонно возрастающей функции
по переменным
характерной для объектов контроля,
решение задачи (13) с ограничением (18)
имеет вид:
. (19)
Окончательно стратегия контроля имеет вид:
(20)
Издержки исполнителя и центра отыскиваются из выражений
. (21)
. (22)
Рассмотрим
пример. Пусть
.
Тогда
. (23)