Интерполирование функций.

1. Конечные разности различных порядков.

Пусть - заданная функция. Обозначим через фиксированную величину приращения аргумента (шаг). Тогда выражение

(1)

называется первой конечной разностью функции .

Конечные разности высших порядков

Например,

Пример. Построить конечные разности для функции:

, считая шаг .

Решение:

,

.

, при .

Если - полином n-ой степени, то

(*)

где .

Символ можно рассматривать как оператор, ставящий в соответствие функции функцию .

Основные свойства оператора :

1)

2) , где ;

3) .

Имеет место важная формула, которая может быть получена на основе свойств 1-3.

, (2)

где - производная (непрерывная) на отрезке , .

Из (2) следует.

Переходя к пределу и предполагая, что непрерывна, получаем

- формула для приближенного вычисления производных.

2) Таблица разностей.

Часто таблицы задаются для системы равноотстоящих точек

.

Конечные разности определяются соотношениями:

в силу свойства 1):

В общем виде можно записать:

(1)

где - число сочетаний из n элементов по m.

Например: ,

,

и т.д.

Для вычисления n-ой разности , нужно знать n+1 членов последовательности.

Конечные разности различных порядков удобно располагать в форме таблиц двух видов:

Горизонтальная таблица разностей. Диагональная таблица разностей.

…..	…..	…..	…..	…...

Пример: Составить горизонтальную таблицу разностей функции

от начального значения , приняв шаг .

Решение: Полагая , , , находим , , .

Отсюда

Т.к. n=3 – степень полинома, то 3-и разности.

Заносим полученные значения в таблицу (горизонтальную).

0	-1	3	8	12
1	2	11	20	12
2	13	31	32	12
3	44	63	44	12
4	107	107	56	12

Исходные данные для заполнения таблицы отмечены ступенчатой ломаной.

Остальные клетки можно заполнить с помощью формул

отсюда:

,

и т.д.

,

и т.д.