Блок – схема решения уравнения f(X) методом половинного деления

2. Метод хорд

Дано уравнение f(x)=0. Пусть найден отрезок , такой, что на его концах функция f(x) имеет разные знаки, то есть . Пусть, кроме этого, производные и на отрезке сохраняют знак. (Пусть при a₀<x<b₀).

За приближенное значение корня принимаем точку пересечения с осью ОХ хорды, проходящей через точки A₀[a₀,f(a₀)], B₀[b₀,f(b₀)]

Уравнение хорды:

(1)

Точка пересечения a₁ с осью ОХ находится из (1) при у=0 (при этом х=а₁):

(2)

Принимая а₁ за конец первого отрезка , можно снова провести хорду и получится приближенное значение а₂

(3)

И так далее

(4)

Можно показать, что процесс сходится и в пределе .

3. Метод Ньютона

Пусть ξ – корень уравнения f(x)=0 определен на отрезке причем и непрерывны и сохраняют знаки при a<x<b. Найдя какое-нибудь n-ое приближенное значение корня x_n= ξ (a≤x_n≤b), мы можем уточнить его по методу Ньютона.

Положим

(1)

Где h_n-малая величина.

По формуле Тейлора, беря только линейные члены находим:

(2)

Так как - «корень», то

Из (2) следует:

Подставляя h_n в (1), получаем новое приближение корня:

(3)

Так как уравнение касательной в точке B_n[b_n,f(b_n)]:

Полагая у=0 (корень!); x_n=x_n+1 получим

Поэтому метод Ньютона называют еще методом касательных.

Если в качестве начального приближения выбрать точку а, то получили бы новое приближение, выходящее за интервал . Следовательно «хорошим» начальным приближением x₀ является то, для которого выполнено неравенство:

(4)

Для оценки точности (погрешности) n-го приближения x_n можно воспользоваться следующим соотношением:

,

То есть «установившееся» начальные десятичные знаки приближения x_n и x_n+1,являются верными (следует взять более двух последующих приближений!)

Пример:

Вычислить методом Ньютона отрицательный корень уравнения:

с пятью верными знаками.

Решение:

Полагая х=0,-10,-100,…, получим f(0)=-10000, f(-10)=-1050, f(-100)≈10⁸

Искомый корень находится в интервале [-100,-10]. Сузим интервал, рассматривая точку х=-11 f(-11)=3453.

Таким образом -11<ξ<-10

На этом интервале и . Так как , то есть , за начальное приближение выбираем х₀=-11.

Результаты вычислений сводим в таблицу:

n	xn	f(xn)
0	-11	3453	-5183	0.7
1	-10.3	134.3	-4234	0.03
2	-10.27	37.8	-4196	0.009
3	-10.261	0.2	-	-

Останавливаемся на n=3. проверяем точность решения, давая приращение . (два знака до запятой, три знака – после)

-5 значащих цифр.

-10261<ξ<-10260

Любое из этих чисел дает искомое приближение. (А хорошо бы еще 1-2 итерации выполнить)

ЛЕКЦИЯ 7

Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений (продолжение) Метод итераций

(метод последовательных приближений)

Пусть дано уравнение:

f(x)=0 (1)

где f(x) – непрерывная функция. требуется вычислить действительный корень уравнения (1) находящийся на отрезке .

Заменим уравнение (1) на равносильным ему уравнением

(2)

где - непрерывна на функция.

Выбираем произвольное и подставляем его в правую часть равенства (2). Получаем

Аналогично получаем

Рассмотрим последовательность x₀,x₁,x₂,…,x_n,…

Пусть эта последовательность сходится, то есть существует предел . Покажем, что с – корень уравнения (2) По построению причем - непрерывная функция. Переходя к пределу при , получаем что и требовалось доказать.

Так как уравнения (1) и (2) равносильны, то c-корень и уравнения (1), то есть исходного уравнения.

Выясним при каких значениях процесс сходится.