4.2.1. Аппроксимация тригонометрическими полиномами кусочно-гладких функций
Функция
называется кусочно-гладкой на отрезке
,
если этот отрезок можно разбить на
конечное число отрезков, в каждом из
которых
– гладкая функция, т.е.непрерывна вместе
со своей первой производной.
|
Теорема |
Тригонометрический
ряд Фурье кусочно-гладкой функции
В обеих граничных
точках сумма ряда равна среднему
арифметическому ее предельных значений
в этих точках, т.е.
|
||||
|
Пример |
Найти ряд Фурье для функции
Представить графически
приближение этой функции с помощью
тригонометрических многочленов
степеней
|
||||
|
Решение |
Определяем коэффициенты Фурье (по формуле (4))
Сделаем
замену переменных :
Тогда
и формулы (3), (4) примут вид:
Т.е. (3), (4) и (3'), (4') эквивалентны! Считать удобнее по формулам (3'), (4').
Определяем коэффициенты Фурье (у нас
Т.о. ряд Фурье имеет вид
Многочлен наилучшего приближения получаем из последней формулы:
Погрешность приближения находим по формуле:
(
следует из
т.к.
т
|
на отрезке
сходится к значению
в точке
(
сходиться к
в точках непрерывности функции).
,
.
Оценить погрешность среднеквадратического
приближения
.
.
- функция определена на интервале
):
)
,
о
4.3. Среднеквадратичное приближение функций полиномами Лежандра.
Многочлены Лежандра определяются следующими формулами
Дифференцирую, находим:
Обобщенный многочлен степени
относительно
системы алгебраических многочленов
Лежандра
имеет
вид
где
– некоторые постоянные.
Система многочленов Лежандра
ортогональна на отрезке
Среднеквадратичная форма
:
Например:
Наилучшее приближение функции
многочленом
получается
с коэффициентами Фурье:
Среднеквадратичное отклонение
аппроксимирующего многочлена от функции
,
равное
,
в нашем случае определяется равенством
Из формулы
видно,
что
четны при четном
и нечетны при
нечетном.
Для четной на интервале
функции
коэффициенты Фурье равны:
Для нечетной на интервале
функции получаем:
Рядом Фурье – Лежандра называется ряд
Ряд Фурье – Лежандра сходится к
в среднеквадратичном на отрезке
.
|
Теорема |
Р
|
яд
Фурье – Лежандра кусочно-гладкой
функции
на отрезке
сходится к значению
в точке
(
сходится к
в точках непрерывности функции).
Если
определена на отрезке
,
то с помощью линейного преобразования
Можно получить многочлены Лежандра,
ортогональные на отрезке
:
При этом норма
будет равна
А коэффициенты
примут
вид
где
|
Пример |
Найти
алгебраический многочлен степени
Оценить погрешность
|
|
Решение |
Имеем
Используя
формулы:
Находим:
Производя
замену переменной по формуле
Коэффициенты
Фурье вычисляются по формуле
Т.к.
Следовательно
Откуда:
По
формуле
y 2 0
|
наилучшего
среднеквадратического приближения
для функции
.
.
,
получим:
– четная, то можно использовать формулу
находим погрешность среднеквадратического
приближения:
,
