Среднеквадратичное приближение функций

Пусть на некотором множестве задана система функций φ₀(х), φ₁(х),…, φ_m(х)…, которые в дальнейшем будем считать достаточно гладкими (например, непрерывно дифференцируемыми). Назовем эту систему основной.

Функции вида

Q_m(x)= c₀ φ₀(х) + c₁ φ₁(х) +…+c_m φ_m(х) (1)

где с₀, с₁,…,с_m – постоянные коофициенты,

называются обобщенными полиномами (обобщенными многочленами) порядка m.

В частности, если φ_i(x) = xⁱ, то Q_m(x) = c₀ + c₁x +…+ c_mx^m – обычный полином системы m.

Если φ₀(х) = 1, φ₁(х) = cos x, φ₂(х) = sin x,…, φ_2m-1(х) = cos mx;

φ_{2 m}(х) = sin mx, …, то

Q_m(x) = a₀ + a₁ cos x + b₁sin x +…+ a_m cos mx + b_msin mx – тригонометрический полином порядка m.

Задача о приближении функций:

Данную функцию f(x) требуется заменить обобщенным полиномом Q_m(x) заданного порядка m строк, чтобы отклонение (в известном смысле) функции f(x) от обобщенного полинома Q_m(x) на указанном множестве х = {x} было наименьшим. При этом полином Q_m(x) в общем случае назывался аппроксимирующим.

Если множество х состоит из отдельных точек х₀, х₁,…, х_n, то приближение называется точечным.

Если х есть отрезок а ≤ x ≤ b, то приближение называется интегральным.

Для практики весьма важными является приближения функций обычными и тригонометрическими полиномами.

Различают следующие задачи теории приближений:

- интерполирования;

- среднеквадратическое приближение;

- равномерное приближение и т.д.

Точечное квадратичное аппроксимирование функций

Если порядок m приближающего полинома Q_m(х) значительно меньше числа узлов n, то интерполирование невозможно. В этом случае используют точечный способ наименьших квадрантов. При этом за меру отклонения полинома берут:

Q_m(х) = a₀ + a₁x + … + a_mx^m (1)

от данной функции f(x) на множестве точек х₀, х₁,…, х_n принимают величину

(2)

Т. к. S_m = S_m (a₀, a_1, …, a_m) ,то задача сводиться к поиску коэффициентов a_i,

, минимизирующих S_m. Полученный полином называется аппроксимирующим, а процедура его построения – точечной квадратичной аппроксимацией.

Условия нахождения экстремума функции

Условие минимума: , т.е. второй дифференциал >0.

Т. о. условие экстремума дает систему m+1 уравнений m+1 неизвестными

(3)

Введем обозначения:

k=(0,1,2)

Например: k=1;

тогда S₁ = х₀+ х₁+…+ х_n

t₁ = х₀y₀+ х₁ y₁+…+ х_n y_n

t₀ = х₀⁰ y₀+ х₁⁰ y₁+…+ х_n⁰ y_n =Σy_i

S₀= х₀⁰ + х₁⁰ +…+ х_n⁰ =1+1…1 = n+1

Тогда система (3) примет вид:

a₀ s₀ + a₁ s₁ + a₂ s₂ +…+ a_m s_m = t₀

a₀ s₁ + a₁ s₂ + a₂ s₃ +…+ a_m s_m+1 = t₀ (4)

a₀ s₂ + a₁ s₃ + a₂ s₄+…+ a_m s_m+2 = t₀

a₀ s_m + a₁ s_m+1 + a₂ s_m+2 +…+ a_m s_2m = t₀

где S₀ = n+1.

Если среди точек x_0, х_1,…, х_n нет совпадающих и m≤n, то определитель системы (4) отличен от нуля и система имеет единственное решение a₀=a₀٭,a₁=a₁٭,…,a_m=a_m٭

Полином (1) с таким коэффициентом будет обладать минимальным среднеквадратичным отклонением S_min.

Если m=n, то Q_m(x) совпадает с полиномом Лагранжа

(т.е. будет решаться задача интегрирования) и S_min=0.

,то аппроксимирования функций – более общий процесс, чем интерполирование.

Пример: подобрать аппроксимирующий полином второй степени

y = a₀+a₁x+a₂x² для данных:

х	0,78	1,56	2,34	3,12	3,81
y	2,5	1,2	1,12	2,25	4,28

m = 2

n = 4 (n+1=5)

Cтроим таблицу

X0	X	X2	X3	X4	Y	XY	X2Y
1	0,78	0,608	0,475	0,37	2,5	1,95	1,52
1	1,56	2,434	3,796	5,922	1,2	1,872	2,921
1	2,34	5,476	12,813	29,982	1,12	2,621	6,133
1	3,12	9,734	30,371	94,759	2,25	7,02	21,902
1	3,81	14,516	55,306	210,717	4,28	16,307	62,28
S	11,61	32,768	102,761	341,75	11,35	29,77	94,604

Cоставляем уравнения для коэффициентов а₀,а₁,а₂ :

5 a₀ + 11.61 a₁ + 32.768 a₂ = 11.350

11.61 a₀ + 32.768 a₁ + 102.761 a₂ = 29.770 (5)

32.768 a₀ + 102.761 a₁ + 341.750 a₂ = 94.604

Решая систему (S) получаем:

а₀=5.045; а₁=4.043; а₂=1,009.

Т.е. у = 5.045 – 4.043 х + 1.009 х²

Сопоставим некоторые значения Y_i с вычисляемыми (6)

X	Y	Y	ε=Y-Y
0,78	2,5	2,505	0,005
1,56	1,2	1,194	-0,006
2,34	1,12	1,11	-0,01
3,12	2,25	2,252	0,002
3,81	4,28	4,288	0,008

|ε|_max=0.01

Удобнее пользоваться при оценке «качества» приближения не таблицей, а одним показателем – среднеквадратической нормой.

d (f, Q_m) = ( [f (x_i) – Q_m(x_i)] ²)^1/2

Или величиной

∂ (f, Q_m) = d (f, Q_m)/ ║f║, где ║f║ - норма функции;

║f║ =

В нашем случае: d = ≈15*10^-3 (0.015)

Еще более удобный показатель – относительное среднеквадратическое отклонение ∂

∂(f, Q_m) = d (f, Q_m)/ ║f║ - безразмерная величина.

В нашем случае ║f║ = =

∂(f, Q_m) ≈2,6*10^-3 = 0,0026

Правильнее было бы называть среднеквадратическим отклонением величину

Мы рассмотрели приближение функции обычным полиномом. Рассмотрим теперь аппроксимацию обобщенным полиномом.

Q_m (х)=C₀φ₀ (x)+C₁φ₁ (x) +...+ C_mφ_m (x).

Теперь необходимо минимизировать сумму квадратов

_n

S_m=Σ [C₀φ₀ (x_і) + C₁φ₁ (x_і) +...+ C_mφ_m (x_і) – f (x_і)]²

^і=0

Условия экстремума дают систему уравнений

(7)

_n

Введем обозначения: (φ,ψ) = Σ φ (x_і) × ψ (x_і)

^і=0

Тогда (7) примет вид:

C₀ (φ₀, φ₀) + C₁ (φ₁, φ₀) +…+ C_m (φ_m, φ₀) = (f, φ₀)

C₀ (φ₀, φ₁) + C₁ (φ₁, φ₁) +…+ C_m (φ_m, φ₁) = (f, φ₁) (8)

C₀ (φ₀, φ_m) + C₁ (φ₁, φ_m) +…+ C_m (φ_m, φ_m) = (f, φ_m)

Из этой системы определяют коэффициенты C₀, C₁,…, C_m.

ЛЕКЦИЯ 16

. Функции, ортогональные на точечном множестве.

Функции φ (x) и ψ (x) называют ортогональными на множестве

точек x = {x₀, x₁, x₂,…, x_n}, если

_n

Σ φ (x_і) × ψ (x_і) = 0.

^і=0

Пример: φ (x) = 3x² - 15x + 10; ψ (x) = 2x – 5

ортогональны на множестве x_і = і (і = 0,1,2,3,4,5).

Имеем: φ (0) = 10;

x	0	1	2	3	4	5
φ	10	-2	-8	-8	-2	10
ψ	-5	-3	-1	1	3	5
φ × ψ	-50	6	8	-8	-6	50	Σ = 0

Система функций {φ_k (x)} называется ортогональной на данном множестве X, если функции

системы попарно ортогональны между собой на этом множестве X.

Функция φ(x)≡0, естественно, ортогональна любой функции. Поэтому будем рассматривать только такие функции,

_n

Σ φ² (x_і) > 0

^і=0

т.е. хотя бы одно значение φ (x_і) ≠ 0

Система ортогональных функций {φ_k (x)} называется ортонормированной, если для всех k

выполнено равенство

║φ_k (x)║ = 1, где - норма функции φ(х)

Если {φ_k (x)} – система функций ортогональна на множестве Х, то система функций

{φ_k (x) ⁄ ║φ_k║_х} – ортогональная на Х.

Функции f_k (x) (k = 0, 1,…,m) называются линейно независимыми на множестве Х, если они

определены на этом множестве и из равенства

λ₀f₀ (x_і) + λ₁f₁ (x_і) +…+ λ_mf_m (x_і) = 0 (і = 1, n)

Следует, что все постоянные λ_k = 0 (k = 0,m)

В противном случае функции f_k (x) – линейно зависимые на Х.

Если множество Х не точечное, а континумум, т.е. х принадлежит отрезку a < х < b, то условие линейной независимости то же самое, только рассматриваются не точки x_і, а множество х € (a, b), т.е. рассматриваем условие

_m

Σ λ_kf_k (x) = 0 х € (a, b)

^k=0

Легко можно доказать лемму:

Функции φ_k (x) (k = 0, 1,…,m), ортогональные на множестве Х = {x₀, x₁, x₂,…,x_m} и имеющие ненулевые нормы, линейно независимы на этом множестве.

Рассмотрим систему полиномов

P₀ (x), P₁ (x),…, P_m (x), (1)

ортогональны на точечном множестве Х = {x₀, x₁,…,x_n}, т.е.

_n

Σ P_і (x_і) P_k (x_і) = 0 при j ≠ k (2)

^і=0 _{2 n 2}

и таких, что S_j = ║P_j║ = Σ P_j (x_і) > 0 – квадрат нормы

^{x і=0}

Пусть степень полинома P_j = j

Т.к. полином P_і (x) (j = 0, 1, 2,…,m) линейно независимые на Х поскольку они ортогональны, то любой полином Q_m (x) степени не выше m может быть представлен в виде линейной комбинации полиномов (2), т.е.

Q_m (x) = b₀ P₀ (x) + b₁P₁ (x) +…+ b_mP_m (x) (3),

где b_і (i = 0,m) – некоторые постоянные числа.

Выражение (3) называется разложением полинома Q_m (x) по системе (1)

Если полином P_j (x) ортогональны, то коэффициенты b_k равны

k = 0, 1,…,m (4)

Действительно, умножим (3) на полином P_k (x) (k ≤ m) и просуммируем результат по всем x_i

(i = 0,n)

_{n n n n 2 n}

Σ Q_m (x_i) × P_k (x_i) = b₀ Σ P₀ (x_i) × P_k (x_i) + b₁ Σ P₁ (x_i) × P_k (x_i) +...+ b_k Σ P_k (x_i) +...+ b_m Σ P_m (x_i) ×

^{і=0 і=0 і=0 і=0 і=0}

× P_k (x_i) (5)

В силу условия ортогональности из (5) следует (4), т.к. все Σ P_j (x) × P_k (x) = 0 для j≠k

Коэффициенты (4) называют коэффициентами Фурье полинома Q_m (x) относительно данной системы функций P_k (x) (k = 0,m), ортогональных на Х.

_n

Если система (1) ортогональна на Х, т.е. Σ Q_m (x_i) × P_k (x_i) (6)

^і=0

Теперь будем аппроксимировать заданную функцию y = f (х) полиномом Q_m (x) на множестве Х.

Q_m (x) = C₀P₀ (x) + C₁P₁ (x) +…+ C_mP_m (x),

где {P_k (x)} (k = 0,m), - ортогональные полиномы.

_{n 2}

Минимизируя S _m = Σ [C₀P₀ (x_i) + C₁P₁ (x_i) +…+ C_mP_m (x_i) - f (х_i)] ­по C₁, C₂,…, C_m, т.е. приравнивая

^і=0

и разрешая полученную систему уравнений, получим:

k= (7)

C_k – коэффициенты Фурье функции f (x) относительно ортогональной системы {P_k (x)} на Х

Беря вторую производную , можно убедиться, что и, следовательно

C_m (C_k) – минимальна!

Т.о.

Обобщенный полином фиксированного порядка m с коэффициентами Фурье данной функции f (х) на множестве Х = {x₀, x₁,…,x_n} – полином Фурье - обладает наименьшим квадратичным отклонением от этой функции на Х по сравнению со всеми полиномами того же порядка m.

Можно показать, что для полинома Фурье

_{2 m 2 2}

S_{m =} ║f (х)║ - Σ C_k × ║P_k║

^{k=0 x}

_{2 2 m n}

Если система {P_k (x)} ортонормирована, то ║P_k║ = 1 и S_{m =} ║f (х)║ - Σ C_{k ,} C_{k =} Σ f (х_i) × P_k (х_i)

^{х k=0 і=0}

III. Полиномы Чебышева, ортогональные на системе равноотстоящих точек.

Пусть дана система n + 1 равноотстоящих точек х = {x₀, x₁,…,x_n} с шагом n. С помощью

линейного преобразования переведем эти точки в t = 0, 1, 2,…, n.

Полиномы P_{0, n} (t), P_{1, n} (t),…, P_{m, n} (t) (m ≤ n) степеней 0, 1,…, m, ортогональные на множестве {0, 1, 2,…,n} и отличные от нуля на этом множестве, называются ортогональными полиномами Чебышева.

(P_{k, n} (t) : k – степень полинома, n – число точек, уменьшенное на 1)

Полиномы Чебышева можно задать формулой

k s s s t^[s]____ (1)

P_{k, n} (t) = Σ (-1) C C ×

^{S = 0 k k k + s} n^[s]

где k = 0, 1,…, m;

s

C - число сочетаний из k по s

^k

t^[s] = t × (t - 1) × (t - 2) ×...× (t-s +1)

обобщенные степени t и n

n ^[s] = n × (n - 1) × (n - 2) ×...× (n – s+1)

Т.о. четыре первых ортогональных полинома равны:

P_{0, n} (t) = 1

; (n≥1) , k=1, s=1

; (n≥2) (2)

; (n≥3)

Возвращаясь к прежней переменной х, получим систему полиномов, ортогональных на множестве Х

, (k=0,1,…,m; m≤n)

Можно показать, что квадрат нормы полинома равен

^{(3) [n+k+1], [k+1] – обобщенные степени}

Разделив многочлены на их нормы, мы получим нормированную систему ортогональных полиномов Чебышева

(k=0,1,2,…,m; m≤n) (4)

Пример. Получить систему полиномов до третьей степени включительно, ортонормированных на системе точек ; ; ; ; ;

Решение. Полагая , переведем точки в целочисленные точки t=0,1,2,3,4,5. Теперь в формулах (1) принимаем n=5.

Имеем ;

(k=0, n=s)

k=1, n=5 s=0 1 2 переходим к Х

1-0,4t=1-0,4*

И т.д.

По формуле (3) вычисляем нормы по формуле (3) получаем квадрат нормы, затем вычисляем корень, т.е. норму!

Делим полиномы на их нормы и переходим от переменной t к переменной х, получим нормированную систему ортогональных полиномов Чебышева:

Если функция Y=f(x) задана на множестве узлов с шагом h, то наилучший аппроксимирующий ее на Х полином степени m будет иметь вид:

(5)

(k=0,1,2,…,m) (6) -коэффициенты Фурье ф-ии f(x) относительно системы ортогональных полиномов Чебышева

Из (5) и (6) следует, что полином не изменится, если ортогональные полиномы Чебышева умножить на постоянные множители, отличные от нуля. Т.к.

Поэтому часто вместо полиномов пользуются полиномами подобраны так, чтобы для целочисленных значений аргумента t значения тоже были целочисленными. Имеются (в справочной литературе) таблицы полиномов , что значительно упрощает процедуры построения полиномов .