3) Постановка задачи интерполирования.

На отрезке заданы n+1 точки , которые называются узлами интерполяции, и значение некоторой функции в этих точках

. (1)

Требуется построить интерполирующую функцию F(x), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и , т.е.

(2)

В общем случае, задача имеет бесчисленное множество решений!!!

Задача становится однозначной, если решение искать в заданном классе функций!

Будем искать полином степени не выше n и удовлетворяющий условию (2).

Полученную интерполяционную формулу используют для вычисления значений в точках (интервалах), отличных от узлов.

Если - имеет место задача интерполирования (интерполирование “в узком смысле”).

При решается задача экстраполирования.

4) Первая интерполяционная формула Ньютона.

Пусть для функции заданы значения для равноотстоящих узлов , где - шаг интерполяции.

Необходимо подобрать полином

(1)

Условия (1) эквивалентны тому, что

, при .

Следуя Ньютону, будем искать полином в виде

(2)

Т.о. задача сводится к определению коэффициентов в выражении (2).

Полагая , получим .

Далее находим первую конечную разность и полагая , получим

Откуда:

Беря затем вторые разности и т.д., получаем:

Введем в рассмотрение новую переменную

- число шагов, необходимых для достижения точки из точки

(), получим

(3)

первая интерполяционная формула Ньютона, которая применяется для интерполирования функций , в окрестности начального значения , где q мало по абсолютной величине!

Если в (3) положить n=1, то получим формулу линейного интерполирования

(4)

При n=2 – формулу параболического или квадратичного интерполирования.

Если дана неограниченная таблица , то n выбирают так, чтобы .

Если таблица конечна, то n не может превышать k-1, где k – число строк таблицы.

При применении 1-ой интерполяционной формулы Ньютона удобно пользоваться горизонтальной таблицей разностей.

Пример: Построить на отрезке [3,5;3,7] интерполяционный полином Ньютона для функции , заданной таблицей, с шагом h=0,05.

	3,50	3,55	3,60	3,65	3,70
	33,115	34,813	36,598	38,475	40,447

Решение: составляем таблицу разностей

3,50 3,55 3,60 3,65 3,70	33,115 34,813 36,598 38,475 40,447	1,698 1,785 1,877 1,972	0,087 0,092 0,095	0,005 0,003

Т.к. то n=3.

или

где

Можно упорядочить полином по степеням х, подставив значение q.

ЛЕКЦИЯ 9

Интерполирование функций. (Продолжение)

Вторая интерполяционная формула Ньютона.

Для интерполирования функции в конце таблицы применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.

(1)

Вывод формулы аналогичен 1-ой интерполяционной формуле, только теперь коэффициент полинома (коэффициент ) определяется из равенств

(2)

Введем обозначение

Тогда

и так далее.

В результате получим:

(3)

Пример: дана таблица значений семизначных логарифмов:

х	У
1000 1010 1020 1030 1040 1050	3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893

Найти lg1044

Решение: составляем таблицу конечных разностей.

1000 1010 1020 1030 1040 1050	3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893	43214 42788 42370 41961 41560	-426 -418 -409 -401	8 9 8

Примем Тогда .

По формуле (3) получаем:

В результате все знаки верные!

Т.о. первая интерполяционная формула Ньютона применяется для интерполирования вперед и экстраполирования назад ( за границы интервала); Вторая формула – для интерполирования назад и экстраполирования вперед.

Операция экстраполирования менее точна!

Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона.

Если узлы интерполирования - равноотстоящие причем то , пологая , получим остаточные члены для 1-ой и 2-ой интерполяционных формул Ньютона:

(1)

, (2)

Где - некоторое промежуточное значение между узлом интерполирования и точкой .

(Для интерполирования , для экстраполирования возможно, что ).

При расчетах порядок n разностей выбирается таким, что . Учитывая, что h достаточно мало и и что

можно положить:

(3)

При этом остаточные члены интерполяционных формул Ньютона будут равны ( подставляя (3) в (1) и (2) ).

Пример: В пятизначных таблицах логарифмов даются логарифмы целых чисел от х=1000 до х=10000 с предельной абсолютной погрешностью, равной . Возможно ли линейное программирование с той же степенью точности?

Решение: Т.к., то где

Отсюда

, а

Из формулы (1) при n=11 и h=1 получаем:

Т.к. (интерполируем не далее, чем на 1 шаг), то

Окончательно получаем:

Т.о. погрешность интерполирования не превосходит погрешностей исходных данных!

Линейное интерполирование (h=1) возможно!!!

* * *

Интерполяционные формулы Ньютона используют лишь значения функций, лежащие лишь по одну сторону от выбранного начального значения

Для интерполирования в середине таблицы удобно применять формулы, содержащие как последующие, так и предшествующие значения функций по отношению к начальному ее значению. При этом используются центральные разности:

Причем:

Интерполяционные формулы с центральными разностями: формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя.

. Интерполяционная формула Лагранжа.

Для произвольно заданных узлов интерполирования (в том числе и для неравноотстоящих узлов ) применяется интерполяционная формула Лагранжа.

На отрезке [a, b] задано n+1 значений аргумента и известны значения функций y=f(x):

Требуется построить полином степени не выше n, имеющий в заданных узлах , те же значения, что и функция f(x), т.е. такой, что

Рассмотрим частную задачу: построить полином , такой, что бы при

Т.е. (1)

Такой полином имеет вид:

(2)

При - условие (1)

Поэтому

И

В результате получаем:

(3)

Будем теперь искать интерполяционный полином в виде

Этот полином имеет вид:

(4)

Подставляя (3) в (4), получаем:

(5)

----- интерполяционная формула Лагранжа

Можно доказать единственность полинома Лагранжа

При n=1 имеем:

- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: (

При n=2 получаем уравнение параболы, проходящей через три точки:

(точки

Пример: Для функции построить интерполяционный полином Лагранжа, выбрав узлы:

Решение: Вычисляем

По формуле (5) получаем:

Точность не велика, т.к. синусоиду мы интерполируем параболой (квадратичной).

`Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа.

(6)

где

Пример1: с какой точностью можно вычислить с помощью интерполяционной формулы Лагранжа для функции , выбрав узлы интерполирования Три точки n=2.

Решение: имеем

Отсюда (т.к.

Из формулы (6) получаем:

Пример2 с какой точностью можно вычислить по формуле Лагранжа

Точное значение

6 Обратное интерполирование

Задача обратного интерполирования: по заданному значению функции найти аргумент , при котором . Функция y=f(x) задана таблично.

Предположим, что на отрезке [a, b], содержащем узлы интерполяции, функция f(x) монотонна. Тогда существует однозначная обратная функция x=F(y). Она задана той же таблицей, что и y=f(x), только теперь аргументом будет значение , а -соответствующее значение функции.

В этом случае обратное интерполирование сводится к обычному интерполированию для функции x=F(y). Т.е. строится интерполяционный многочлен ( например, по формуле Лагранжа) – многочлен . При подстановке в значения - получаем .

Второй способ применим ко всякой функции f(x) ( не обязательно к монотонной!). Не меняя ролями функцию и аргумент, записываем по какой – либо формуле интерполяционный многочлен . Неизвестное значение находим приближенно, решая уравнение . Если число узлов велико, то этот способ нахождения приводит к решению системы алгебраических уравнений высокого порядка.

Рассмотрим другой - интерполяционный метод решения уравнений.

Будем рассматривать только равноотстоящие узлы, т.е.

Пусть для определенности находится между и . Строим интерполяционный многочлен по 1-ой формуле Ньютона. Уравнение принимает вид:

(2)

Выберем начальное приближение

Подставляя в (2) последовательно получаем

Итерационный процесс прекращается, когда два соседних приближения совпадают с заданной системой точности.

Т.о. находится

Т.к. то

Пример: функция y=f(x) задана таблично

х	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
у	1,6487	1,8221	2,0138	2,2255	2,4596

Найти значение , для которого =1,7333

Решение: строим таблицу конечных разностей заданной функции.

х	у
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9	1,6487 1,8221 2,0138 2,2255 2,4596	1734 1917 2117 2341	183 200 224	17 24	7

Т.к. т.е., воспользуемся 1-ой интерполяционной формулой Ньютона (2), подставив в нее значения разностей из таблицы.

Получаем:

Т.к. решение ищем с точностью до 0,0001, (4-ре значащих цифры после запятой), то

- шаг по х.

ЛЕКЦИЯ 10

Сплайн – интерполяция.

(spline – рейка, планка) Механические сплайны – гибкие деревянные рейки, закрепленные на концах. В узлах (точках) интерполяции подвешивают грузила. Сплайн принимает форму, минимизирующую его потенциальную энергию. Если сплайн представить функцией S(x) , то S и непрерывны на [].

Кубическая сплайн – функция, удовлетворяющая условиям называется естественным кубическим сплайном. С математической точки зрения кубическая сплайн – функция – единственная функция, обладающая свойством минимальной кривизны, среди всех функций, интерполирующих данные точки и имеющих квадратичную интегрируемую вторую производную.

Т.е. кубический сплайн есть самая гладкая из функций, интерполирующих заданные точки.

Пусть отрезок [a, b] разбит на n частей точками

Сплайном k-ой степени называется функция, представляющая собой многочлен не выше к-ой степени на каждом из последовательно примыкающих друг к другу интервалов причем в точках стыка двух интервалов функция непрерывна вместе со своими производными до порядка не выше к

Сплайн 1-ой степени – кусочно-линейная функция (непрерывная). Производная терпит разрыв в точках излома.

Задача интерполяции функции на отрезке [a, b] кубическим сплайном (сплайном 3-ей степени) состоит в нахождении функции S(x), равной многочлену третьей степени на каждом отрезке т.е. (1)

Значения сплайна в узлах интерполяции равны и сплайн-функция S(x) непрерывна в узлах интерполяции вместе с производными первого и второго порядков.

В сплайне (1) неизвестные . Интервал [a, b] разбит на n участков. Т. о. имеем 4n неизвестных: (i*p) = 4n.

Уравнения (2) – (5) дают 4n – 2 уравнения. Т.о. для определения величин необходимо ввести еще каких-либо 2 ограничения. В качестве ограничений выбирается одна из 3-х пар краевых условий:

Построим сплайн, удовлетворяющий краевым условиям I типа.

Введем величины , называемые наклонами сплайна в узлах (i=0,1,..,n)

Интерполяционный кубический сплайн вида

(6)

Где удовлетворяет условиям (2) – (4) для любых

Из условия (5) и краевых условий (I) можно определить параметры .

Действительно, легко проверить, подставляя в (6) и т.д., что

С учетом выражений : (беря вторые производные от S(x) по х и подставляя и )

И краевых условий (I) и условий (S) получим систему из n+1 линейных уравнений относительно неизвестных

(Приравнивая :

(7)

Решая систему (7) методом Гаусса, получаем в результате прямой прогонки коэффициенты:

(8)

Обратной прогонкой получаем результат:

(9)

Результаты (8) и (9) позволяют построить кубический сплайн (6)

Построение сплайна с учетом краевых условий (II) производится аналогично!

Точность интерполяционной функции f(x), имеющей на отрезке [a, b] непрерывные производные до 3-его порядка включительно, кубическим сплайном S(x) по точкам равномерного разбиения отрезка с шагом h при любых краевых условиях (I – III), оценивается неравенством:

где (10)

! Неравенство (10) дает завышенную оценку точности.

Пример: На отрезке [0, ] построить кубический сплайн с шагом , интерполирующий функцию , если заданы значения функции в трех узлах интерполяции:

x
Sin(x)

С помощью интерполяционной формулы вычислить приближенное значение и сравнить с точным значением 0,5.

Решение: Т.к. задано 2 отрезка, , то представим сплайн в виде:

Краевые условия (I) имеют вид:

Из системы уравнений (7) имеем:

Находим

Подставляем значения в (6). Получаем:

( т.к. и числа, содержащие

Аналогично:

Получаем для : (т.к.

Т. о.

Погрешность меньше !

Мы могли бы получить выражение для по формуле (8) и (9) – рекуррентные соотношения, получаемые при прямом и обратном прогоне в Методе Гаусса.

Действительно имеем:

Находим:

7. Блок – схема программ интерполяции

( Ракитин, Первушин «Практическое руководство по методам вычислений. 1998 )

=