3.3 Имитационное моделирование

3.3.1 Понятия имитационного моделирования

А. Определение ИМ. Имитационной моделью сложной системы S называются машинные программы или алгоритмы, позволяющие имитировать на ЭВМ поведение системы и ее отдельных компонентов и связей между ними в течение заданного времени моделирования. По Р. Шеннону «модель – комбинация компонентов, переменных, параметров, функций, ограничений и критериев». Под компонентом понимается элемент или подсистема, переменные определяются видом функций, параметры выбираются исследователем. Функции, определенные в разделе 4.2, устанавливают связи между параметрами и переменными. Ограничения задают пределы изменения переменных. Под критерием понимается отображение цели и правила оценки ее достижения». Как видно данные выше определения не вступают в противоречие с представлениями Р. Шеннона. На этапе ИМ (этап 2, рис. 3.2) при переходе от концептуальной модели S` (одна из моделей 3.2) к моделирующему алгоритму и имитационной модели S`` можно выделить пять основных подэтапов.

2.1 Выбор способа имитации (см. 3.3.2), а также вычислительных и программных средств реализации ИМ.

2.2 Построение логической схемы моделирующего алгоритма.

2.3 Алгоритмизация математических моделей, описывающих поведение элементов системы и связей между ними в рамках выбранного способа имитации.

2.4 Программирование моделирующего алгоритма, т.е. разработка самой имитационной модели.

2.5 Отладка, тестирование и проверка адекватности ИМ.

Как уже было сказано выше, рамки учебного пособия не позволяют подробно рассмотреть вопросы планирования имитационных экспериментов и вопросы обработки, анализа и интерпретации результатов моделирования. Рассмотрение указанных задач является содержанием третьего этапа моделирования. Для понимания всего цикла ИМ кратко рассмотрим смысл действий на третьем этапе. Вначале оценим основные проблемы исследования и проектирования, которые могут успешно решаться с помощью ИМ:

Группа 1. Оценка значений показателей вектора КЦФ – Q, а также значений параметров компонентов.

Группа 2. Нахождение функциональной зависимости между КЦФ и значениями параметров системы.

Группа 3. Сравнение систем с разными ФДС (функционально достаточными структурами, см. раздел 2.3.3) и разными значениями параметров для одной ФДС.

Группа 4. Оптимизация системы S на множестве параметров на основе двойственной задачи оптимизации (достижения максимума КЦФ при заданном значении ресурсов, либо минимизация ресурсов при достижении заданного значения КЦФ).

Любая задача из названных групп проблем может быть решена на этапе 3 с помощью методов планирования имитационных экспериментов [21,23]. В результате имитационного моделирования системы S при заданном времени и векторе параметров системы получается фазовая траектория системы S:

(3.3)

и значения показателей КЦФ для каждого интервала модельного времени и для всего интервала моделирования в целом

(3.4)

Результаты одного вычислительного эксперимента (ВЭ), в результате которого имитируется фазовая траектория (3.3) и показатели КЦФ называются прогоном. Итогом одного прогона является значение искомой характеристики. Для получения представительной статистики необходимо провести ряд прогонов, после чего проводится подэтап обработки данных ВЭ.

Б. Понятие модельного времени

Отметим две особенности функционирования ЭВМ, которые приходится учитывать при разработке ИМ сложных систем.

1. Сложная система S, как правило, состоит из многих элементов. Все элементы системы S функционируют одновременно. Однако в большинстве современных ЭВМ параллельное выполнение нескольких программ, имитирующих поведение отдельных элементов системы, невозможно.

2. Поскольку ИМ — это программы для ЭВМ, то они должны оперировать с конечным множеством данных и, следовательно, имитировать поведение системы S не во все моменты времени t [О, Т], а лишь в некоторые, составляющие конечное множество [О, T], (где означает мощность множества ),

Чтобы обеспечить имитацию параллельных (одновременных) событий системы S на конечном множестве моментов времени , в ИМ используется специальная переменная t, называемая системным модельным временем или просто модельным временем (MB).

MB t следует отличать от других типов времени, используемых при ИМ систем, таких, как: t_p — реальное время системы S, функционирование которой имитируется; t_э — машинное время имитации, отражающее затраты ресурса времени ЭВМ на организацию имитационного моделирования.

Существуют два способа формирования конечного множества моментов времени , известных как принципы организации изменения модельного времени "" и "".

"Принцип " заключается в изменении MB с фиксированным шагом .

"Принцип " заключается в изменении MB при скачкообразном изменении вектора состояния х системы S на некоторую величину (0).

Для моментов времени t* из множества , сформированного по принципу "", справедливо

x(t* + 0) = х(t*) + , t* .

Для моментов времени из множества [О, T] \ вектор состояний изменяется непрерывно (либо остается неизменным).

Заметим, что скачкообразные изменения состояния системы S происходят при наступлении таких "особых" событий, как поступление управляющих сигналов и внешних воздействий, выдача выходных сигналов и т.п.

Приведем более строгое описание принципов "" и "" и поясним их особенности. Пусть СС S состоит из N элементов: A⁽¹⁾, ..., А^(N) поведение которых предполагается моделировать:

S={A⁽¹⁾, ...,А^(N))}.

Для каждого элемента А⁽ⁱ⁾ S (i = 1, ..., N) определим локальное модельное время (ЛМВ) t⁽ⁱ⁾ [О, T]. Поведение элемента А⁽ⁱ⁾ S в течение интервала моделирования определяется некоторой последовательностью действий

где G — множество всевозможных действий для элементов S. На множестве G будем выделять подмножество действий D: D G, для выполнения которых в ИМ требуется некоторое ненулевое модельное время.

Будем обозначать такие действия , а интервалы модельного времени, затрачиваемые на выполнение этих действий, соответственно:. Последовательность {} (j=) является последовательностью случайных величин с заданными законами распределения L{}, i=.

Действия {} D приводят к наступлению в системе S особых событий {} . События {}, к которым приводят действия {}: {} G \ D, не требующие затрат MB, считаются неособыми.

Момент ЛМВ наступления события для определяется по формуле:

(3.5)

где имитируется на ЭВМ в соответствии с законом распределения L{}, t*— текущее значение MB.

Состояние системы S в момент времени t [0, Т] определяется вектором состояния x(t) X Rⁿ. Состояния системы в моменты наступления особых событий будем называть особыми состояниями, а состояние x(0) — начальным состоянием системы.

Для иллюстрации принципов "" и "" используем временную диаграмму, изображенную на рис.3.7

Рис. 3.7 Временная диаграмма

Описание временной диаграммы.

Пусть число моделируемых элементов в S равно 2, т.е. N = 2, и S = {A⁽¹⁾, A⁽²⁾}.

Временная диаграмма включает:

— временную ось ЛМВ t⁽¹⁾ для элемента А⁽¹⁾,

— временную ось ЛМВ t⁽²⁾ для элемента А⁽²⁾,

— временную ось модельного времени по принципу "";

— временную ось модельного времени по принципу "".

Временные оси будем помечать символами ”А⁽¹⁾”, ”А⁽²⁾”, "";"".

Пусть в течение рассматриваемого интервала моделирования

[0, Т] для элемента А⁽¹⁾ произошло 2 события: в моменты , для элемента A⁽²⁾ — 3 события: в моменты

Предположим, что хронологическая последовательность событий такова:

Принцип "".

В соответствии с принципом "" изменение модельного времени t происходит через промежутки времени, равные , т.е. t в течение времени моделирования Т принимает конечное множество значений:

При этом событиям, которые попадают в интервал постоянства MB _r = ((r - 1), rt), r = , в ИМ присваивается один и тот же момент наступления: t = rt. Выбор величины t существенно влияет как на быстродействие ИМ, так и на точность аппроксимации СС S с помощью ИМ. Пусть t выбран таким, как указано на диаграмме (рис.2.1), т.е. моменты наступления событий в S принадлежат следующим интервалам:

,

Это означает, что соответствующим событиям в ИМ будут присвоены следующие моменты наступления:

При этом фазовая траектория системы S с вектором состояний x(t) X будет иметь вид:

х(0), x(t) = x(2t) = x(0), x(3t) = х(), x(4t) = x(5t) = x(3t),

x(6t) = х(), x(7t) = x(8t) = x(9t) = x(6t), x(10t) = x(),

x(11t) =...=x(14t) = x(10t), x(15t) = x().

На основании полученной фазовой траектории можно сделать следующие выводы относительно выбора t:

1) если t — мало, то выполняется много лишних вычислений состояний системы в моменты, когда вектор x(t) не изменяется (за счет этого возрастает t_э выполнения ИМ);

2) даже при сравнительно малом значении t моменты наступления событий в системе (а следовательно, и моменты изменения состояния системы) не совпадают с моментами наступления событий в ИМ, поэтому фазовая траектория, построенная с помощью ИМ, на множестве [0, Т] не совпадает с фазовой траекторией системы S.

Принцип ”х".

В соответствии с принципом "х" изменение модельного времени происходит в моменты наступления событий или, что то же самое, в моменты особых состояний, т.е. для нашего примера:

а фазовая траектория, построенная с помощью ИМ, будет совпадать на множестве [0, Т] с фазовой траекторией системы S:

Приведем более строгие формулировки правил изменения MB по принципам "" и "".

Пусть t* < Т — некоторый момент особого состояния системы S;

r_i — число событий, произошедших с элементом S до момента t* включительно (i = 1, ..., N)',

— момент наступления последнего для элемента А⁽ⁱ⁾ события до момента t* включительно;

> t* — момент наступления ближайшего после r_i будущего события;

— общее число событий в момент t*

t** и **— моменты ближайших будущих событий в ИМ, вычисленные по принципам "" и "" соответственно.

Модельное время t в ИМ можно рассматривать как функцию от числа событий, происходящих в ИМ. Очевидно: t(r) = = t* < Т, r = 0, 1, 2, ...,

где {}, {} определяются соотношением (3.5) Заметим, что

моменты МB t** = Т и ** = (если ) являются моментами завершения моделирования.

Правила (3.6) и (3.7) называются правилами изменения модельного времени по принципам "" и "" соответственно.

Пример. Проиллюстрируем эти правила с. помощью рис. 3.7

Пусть , тогда r₁=1, r₂=2, r=r₁+r₂ = 3, t(4)=t**=min так как

На практике отдается предпочтение принципу "". Принцип "" используется лишь в случаях, когда:

1. события {} таковы, что const на всем интервале моделирования Т, и, следовательно, можно подобрать интервал изменения MB, обеспечивающий минимальную погрешность аппроксимации (например, для разностных уравнений);

2. событий очень много и они появляются группами. В этом случае за счет групповой обработки событий , попавших внутрь очередного шага изменения , удается уменьшить затраты машинного времени.

В большинстве практически важных случаев события наступают через случайные интервалы времени . Поэтому способ задания шага до следующего события экономичнее (в смысле затрат машинного времени) и точнее (в смысле точности аппроксимации) фазовой траектории способа фиксированного изменения МВ.