Апертурные алгоритмы, использующие экстраполяцию

Экстраполяционные методы прочно вошли в практику систем уплотнения информации, способствуя организации оптимального кодирования и селективной выборки, а так же обеспечивая реализацию в системах метода плавающей апертуры.

Задача экстраполяции может решаться по-разному, но всегда при одном условии — наличии некоторого известного свойства, связывающего прошлое процесса с его будущим, по крайней мере, в некотором статистическом смысле, для чего обычно требуется достаточно полное исследование предыстории процесса.

Альтернативой может служить (в случае управления инерционными объектами) возможность построения ускоренной адекватной математической или физической модели объекта.

Проще всего реализация прогнозирования достигается в случае детерминированных процессов, когда состояние процесса в любой будущий момент времени может быть точно предсказано по соответствующей информации о прошлом.

Наиболее широкое распространение получили экстраполяция нулевого порядка, линейная экстраполяция (первого порядка), а так же отчасти и экстраполяция второго порядка. Экстраполяция более высоких порядков неудобна для практического использования и почти никогда не применяется.

Значительно сложнее обстоит дело с прогнозированием недетерминированных процессов, т.к. здесь возникает дополнительная проблема минимизации неизвестной при экстраполяции ошибки. Теория экстраполяции стационарных случайных процессов была впервые развита в работах А. Н. Колмогорова и Н. Винера.

При экстраполировании очень важным является выбор шага (интервала) предсказания: чем меньше шаг, тем точнее прогноз. Не менее важным является и знание предыстории процесса : чем больше известно данных о предыдущих значениях, тем точнее подбираются коэффициенты экстраполяционного полинома. Однако приходится искать компромисс между точностью и простотой реализации.

В целом необходимо отметить, что экстраполятору, в основу работы которого заложено использование полинома Колмогорова, присущи черты, свойственные реальному дифференцирующему звену. Поэтому если в системе возможны высокочастотные помехи, более успешные результаты может дать прогнозирование, использующее методы экспоненциального сглаживания. В основе этих методов лежит предположение, что предсказываемое значение функции может быть представлено в виде ряда Тейлора, причем члены ряда выражаются рекуррентными формулами экспоненциального сглаживания:

; ; …….

где и — экспоненциально сглаженные значения первого порядка, характеризующие соответственно новое усредненное значение функции и предыдущее усредненное значение; — соответствующие экспоненциально сглаженные значения второго порядка и т.д.;

a — постоянный коэффициент, принимающий значения 0.5 < a < 1 для менее чувствительных систем, работающих в условиях сильных помех, 0.1 < a < 0.5 — для наиболее консервативных систем.

— последнее измеренное значение функции.

При использовании всего двух членов ряда Тейлора, что в большинстве случаев вполне оправдано как с точки зрения точности, так и в смысле простоты физической реализации предикатора :

, где

Большее число членов ряда использовать практически нецелесообразно из-за сложности вычислений и незначительного дополнительного выигрыша в точности прогнозирования.

Характеристика предикатора, реализующего алгоритм экспоненциального сглаживания, близка к характеристике предикатора Колмогорова, у которого на входе помещен сглаживающий фильтр.

Существуют другие экстраполяционные алгоритмы, однако они труднее реализуются и не имеют особых преимуществ перед описаными выше.

А) Экстраполяция нулевого порядка с плавающей апертурой.

ЭНП-ПА реализуется следующим образом. В качестве предсказываемого значения принимается последняя выборка, т.е. f(x+x)=f(x).

Если последующие выборки, считываемые с постоянной частотой, не выходят за границы апертуры, то на выход экстраполятора они не передаются. Как только очередная выборка оказывается вне апертуры, она транслируется на выход экстраполятора как новое предсказанное значение, одновременно апертура центрируется относительно последней переданной выборки. Таким образом, апертура "плавает" вместе с последней посылаемой выборкой. Пока скорость считывания входной информации достаточно высока (т.е. удовлетворяет теореме Котельникова), ошибка экстраполяции будет меньше заданной величины для всех отсчетов, кроме тех, которые сопровождаются перемещением оси апертуры.

Б) Экстраполяция нулевого порядка со сдвигом.

ЭНП-С является модификацией ЭНП-ПА. Здесь после передачи последней выборки апертура не центрируется относительно этой выборки, а устанавливается со сдвигом относительно выборки. Знак сдвига определяется тем, какую границу апертуры пересек сигнал последней выборки: если верхнюю границу, то сдвиг положительный, иначе — отрицательный. Метод ЭНП-С, таким образом, наделен некоторыми чертами экстраполяции первого порядка, поскольку учитывает знак скорости измеряемого сигнала, и отличатся благодаря этому более высокой эффективностью, чем ЭНП-ПА, как с точки зрения точности, так и с точки зрения коэффициента уплотнения информации.

Широкое применение на практике нашли следующие предсказатели (экстраполяторы) нулевого порядка:

1) Предсказатель нулевого порядка с фиксированной апертурой:

ПНП-ФА. Здесь диапазон измерения процесса разбит на конечное число апертур ПНП-ФА формирует отсчет при пересечении процессом одного из уровней, определяющих границы апертуры в любой последовательности.

2) Предсказатель нулевого порядка с плавающей апертурой: ПНП-П, в котором последовательное пересечение одного и того же уровня не приводит к появлению отсчета. Отсчет формируется только в случае последовательного пересечения соседних уровней.

В) Линейная экстраполяция (экстраполяция первого порядка).

Здесь учитывается скорость изменения переменной, в связи с чем уравнение экстраполяции представляется отрезком прямой, проведенным из последней информационной точки (не переданной на выход экстраполятора выборки) через новую (переданную) выборку. Этот отрезок является осью апертуры шириной x. Предсказанные значения для новых информационных точек лежат на этом отрезке прямой до тех пор, пока фактическая выборка не оказывается за пределами апертуры, после чего формируется новый отрезок прямой экстраполяции, проходящий из предыдущей (предсказанной) точки через новую фактически измеренную и переданную на выход выборку и т.д. При малой частоте изменения переменной по сравнению с частотой выборок этот метод дает хорошие результаты.

Однако с ростом частоты входного сигнала, если к тому же экстраполируемая функция не отличается монотонностью, этот метод может давать весьма большие погрешности и требует эффективной фильтрации при восстановлении информации. В связи с этим в ряде случаев приходится прибегать к методу оптимальной линейной экстраполяции (ОЛЭ).

Г) Оптимальная линейная экстраполяция.

Метод ОЛЭ основан на использовании линейного экстраполяционного полинома Колмогорова. Здесь так же устанавливается апертура относительно предсказанного значения. Последнее вычисляется по данным N предшествующих действительных значений выборок. Если последующие действительные выборки оказываются в пределах апертуры, установленной относительно предсказанного значения, то эти выборки не передаются на выход экстраполятора. Если же действительное значение следующей выборки выходит за пределы апертуры, то оно используется в уравнении экстраполяции для коррекции кривой, аппроксимирующей данную функцию, причем в качестве остальных N-1 переменных в уравнении используются подряд все N-1 значений, соответствующих как фактическим выборкам (если они выходили за пределы апертуры), так и предсказанным значениям (если они попадали внутрь апертуры). Как следует из сказанного, этот способ обеспечивает максимальный коэффициент уплотнения информации, однако его реализация связана с довольно сложной вычислительной процедурой, содержащей три повторяющихся этапа: вычисление коэффициентов полинома, вычисление предсказываемого значения, оценка среднеквадратической ошибки и, если она выше нормы, вычисление новых значений коэффициентов. Поэтому ОЛЭ применяется только в тех системах, где имеется свободное машинное время, или тогда, когда цена специализированного процессора значительно ниже цены канала связи, либо когда нет другой альтернативы.