IV. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме.

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются:

z₁z₂= r₁ r₂ ( cos (φ₁ + φ₂) + i (sin (φ1 + φ2))

При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются:

( cos (φ₁ - φ₂) + i (sin (φ1 - φ2)).

Формула Муавра.

zⁿ= (r ( cos φ+ i sin φ))ⁿ= rⁿ( cos nφ + i sin nφ),

Пример:

Частное  комплексных чисел  и  равно …

Решение: Воспользуемся формулой: Получим:

Ответ:

2. Степень комплексного числа  равна …

Решение: Согласно формуле Муавра  находим:

Ответ:

Решите самостоятельно:

1. Произведение комплексных чисел  и  равно …

Ответ:

2. Произведение комплексных чисел  и  равно …

Ответ:

4. Дано комплексное число . Тогда значение  равно …

Ответ:

V. Решение квадратных уравнений.

Любое уравнение n-ой степени на множестве комплексных чисел имеет ровно n корней, причём корни считаются столько раз, какова их кратность в данном уравнении.

Уравнения вида az² + bz + c = 0 (где z- комплексное число) решаются по общей формуле:

z_1,2=, где ,при этом:

если D=0, уравнение имеет один действительный корень,

если D>0, уравнение имеет два действительных корня,

если D<0, уравнение имеет два мнимых корня.

Пример:

Корни квадратного уравнения  равны …

Решение: Учитывая равенство  мы можем найти корни данного уравнения, принадлежащие множеству комплексных чисел; получим:   Корнями уравнения являются комплексные числа  и

Решите самостоятельно:

1. Корни квадратного уравнения  равны …

Ответ:

2. Корни квадратного уравнения  равны …

Ответ: Корнями уравнения являются комплексные числа  и .

3. Корни квадратного уравнения  равны …

Ответ:

4. Корни квадратного уравнения  равны …

Ответ:

6. Модуль числа.

Определение: Модулем комплексного числа z = a + bi называется числои обозначается , т.е. .

Пример:

Модуль комплексного числа  равен …

Решение: Модуль комплексного числа вычисляется по формуле , где  – действительная, а  – мнимая часть комплексного числа. Тогда

Ответ:

Решите самостоятельно:

1. Модуль комплексного числа  равен …

Ответ:

2. Модуль комплексного числа  равен …

Ответ:

3. Модуль комплексного числа  равен …

Ответ:

Р Я Д Ы

Ч

Ответа нет

исловые ряды:

1

Ответ ряд расходится

.Необходимое условие сходимости:

нет

2.Достаточные условия:

P>1 – ряд расходится

I

P<1 – ряд сходится

.Признак Даламбера:

P=1 – нет ответа

II.Признак сравнения:

1) – сходится - сходится, т.к. сходится его мажорантный ряд

2) – расходится, - расходится как мажорантный для расходящегося

III.Эталонные ряды(г.п.):

-сходится |q|<1,

– расходится т.к. гармонический

,

IV. Знакопеременные ряды:

– ряд модулей

, сходится -абсолютно сходящийся

расходится - ответа нет

V. Знакочередующиеся ряды

по признаку Лейбница – сходится

Функциональные ряды:

1.Степенные:

(по степеням x)

(по степеням ).Область сходимости – множество всех точек сходимости.

2.Ряд Тейлора – Маклорена:

R сходимости =

интервал (-R;R)

3.Тригонометрические ряды. Ряды Фурье.

опр:; слагаемое – гармоники, - амплитуды, 1,2,n-частоты

При

Коэффициенты Фурье

-частоты

Если функция чётная

Если разложить по cos чётным образом продолжить график

Если функция нечётная

Если разложить по sin нечётным образом продолжить

СУММА ЧИСЛОВОГО РЯДА

1.Дан числовой ряд . Частичная сумма  равна …

4.Дан числовой ряд:  Его частичная сумма  равна …

ТЕМА ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

……… и их четвертыми членами. 1. , 2.     1          2	…………и их пятыми членами. 1. , 2.     1           2
……….их четвертыми членами. 1. 2.     1           2	их пятыми членами. . 2.     1           2

Для исследования вопроса о сходимости числового ряда используется необходимый признак сходимости числового ряда  Тогда могут сходиться ряды …

1.

Решение 1) . Тогда . Достаточный признак сходимости выполняется, значит, данный ряд может сходиться. 2) . сходиться.(предел равен нулю т.к в знаменателе N в большей степени) 3) . . расходится. 4) . . расходится.

2.

3. ПРИМЕРЫ РЯДОВ

сходятся	сходятся	расходятся	расходятся

ТЕМА ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ.

Для исследования числового ряда  на сходимость можно пользоваться признаком Даламбера и признаком Коши Тогда сходящимися являются ряды …

Решение: 1) Для ряда  воспользуемся признаком Даламбера. Тогда получим: Так как , то данный ряд сходится. 2) Для ряда  воспользуемся признаком Даламбера. Имеем: тогда получим: . Так как , то данный ряд расходится. 3) Для ряда  воспользуемся признаком Коши. Имеем:  тогда получим: Так как , то данный ряд сходится. 4) Для ряда  воспользуемся признаком Коши. Имеем:  тогда получим: Так как , то данный ряд расходится.

2. исследования числового ряда  на сходимость можно пользоваться признаком Даламбера и признаком Коши Тогда сходящимися являются ряды …

Решение: 1) Для ряда  воспользуемся признаком Даламбера. Получим Тогда Так как , то данный ряд сходится. 2) Для ряда  признак Даламбера. Получим Тогда расходится. 3) Для ряда  признаком Коши.  Получим , ряд сходится. 4) Для ряда   признак Коши.  Получим Тогда ряд расходится.

3.

Сходятся по Деламберу		Расходятся по Деламберу
Сходятся по Коши		Расходятся по Коши

1.Для степенного ряда  радиус сходимости R равен …1

Радиус сходимости R степенного ряда равен …10
Для степенного ряда  радиус сходимости R равен …2
равен 1
Радиус сходимости R степенного ряда  равен …10

Решение: Радиус сходимости степенного ряда  находится по формуле По условию задачи имеем, что примеры

1.Известно, что ряд Маклорена для функции  имеет вид Тогда  равняется  …

Решение: Напоминаем, что нужно сделать подстановку – вместо x записать Получим

2.Известно, что ряд Маклорена для функции  имеет вид Тогда  равняется …

3.Известно, что ряд Маклорена для функции  имеет вид  Тогда  …

4.Известно, что ряд Маклорена для функции  имеет вид Тогда  равняется …

Решение: Cделаем подстановку, вместо x запишем  тогда получим:

Тогда  равняется  …
Тогда  равняется …
Тогда  …
Тогда  равняется  …