Упражнения
-
Алгоритм перевод комплексного числа из алгебраической в тригонометрическую форму.
Пример:
Тригонометрическая
форма комплексного числа
имеет
вид …
Решение:
Для
представления комплексного числа в
тригонометрической форме записи
необходимо
найти его модуль и аргумент. Используя
формулу
,
где
–
действительная, а
–
мнимая часть комплексного числа,
получим:
По
формулам
и
найдем
аргумент
комплексного
числа. Обращаем внимание на то, что под
аргументом
понимается
его главное значение, то есть значение,
удовлетворяющее условию
Так
как
то
Зная,
что тригонометрическая форма комплексного
числа имеет вид
получим:
Ответ:
Решите самостоятельно:
-
Тригонометрическая форма комплексного числа
имеет
вид …
Ответ:
-
Тригонометрическая форма комплексного числа
имеет
вид …
Ответ:
-
Тригонометрическая форма комплексного числа
имеет
вид …
Ответ:
-
Тригонометрическая форма комплексного числа
имеет
вид …
Ответ:
-
Тригонометрическая форма комплексного числа
имеет
вид …
Ответ:
II. Комплексно-сопряженные числа.
Определение:
Числа
a + bi и a-bi называются комплексно-сопряженными
или сопряженными.Число, комплексно-сопряжённое
с z,
обозначают
.
Пример:
Даны четыре комплексных числа:
1)
2)
3)
4)
Установите
соответствие между комплексными числами
и сопряженными им.
1)
2) 
3) 
4) 
5) 
Решение:
Два
комплексных числа
и
,
отличающихся только знаком мнимой
части, называются сопряженными.
Ответ:
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
Решите самостоятельно:
1.
Даны четыре комплексных числа:
1.
2.
3.
4.
Установите
соответствие между комплексными числами
и им сопряженными.
1)
2)
3)
4)
5)
Ответ: 1); 2); 3); 4)
2.
Даны четыре комплексных числа:
1.
2.
3.
4.
Установите соответствие между комплексными числами и им сопряженными.
1)
2)
3)
4)
5)
Ответ: 1); 2); 3); 4)
3.
Даны четыре комплексных числа:
1.
2.
3.
4.
Установите
соответствие между комплексными числами
и им сопряженными.
1)
2)
3) 
4) 
5)
Ответ: 2); 1); 5); 4)
4.
Даны четыре комплексных числа:
1)
2)
3)
4)
Установите
соответствие между комплексными числами
и сопряженными им.
1)
2)
3)
4)
5)
Ответ:
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
III. Действия с комплексными числами в алгебраической форме.
Сложение комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел z1 = a + bi и z2 = c + di называется комплексное число z = (a+c) + (b+d)i.
Произведение комплексных чисел
Перемножим комплексные числа z1= a + bi и z2 = c + di по правилам умножения многочленов: z1∙z2 = (a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac - bd) + (ad + bc)i.
Деление комплексных чисел.
Для выполнения деления комплексных чисел выполняют последовательно три операции:
-
Частное комплексных чисел записывают в виде дроби.
-
Числитель и знаменатель дроби домножают на число комплексно-сопряжённое со знаменателем.
-
Числитель полученной дроби почленно делят на знаменатель.
Примеры:
1.
Произведение
комплексных чисел
и
равно …
Решение:
Произведение
данных комплексных чисел можно найти
по правилу умножения двучленов или
используя формулу разности квадратов
С
учетом равенства
получим:
Ответ: -40
Решите самостоятельно:
1.
Произведение комплексных чисел
и
равно …
34
1.
Произведение комплексных чисел
и
равно …
-20
2.
Произведение комплексных чисел
и
равно …
85