1. Правила дифференцирования

Производная суммы двух функций:

Производная произведения постоянной и функции:

Производная произведения двух функций:

Производная частного двух функций :

Производная сложной функции:

Таблица производных основных элементарных функций:

Пример :

1.Производная функции  

равна …

2.Производная функции  

равна …

3.Производная функции  

равна …

4.Производная функции  равна 

1.Если , то  принимает значение, равное …-1

2.Если , то  принимает значение, равное …3

3.Если , то  принимает значение, равное …1

4.Если  то  принимает значение, равное …2

5.Если , то  принимает значение, равное …   5

6. Дана функция . Установите соответствие между производными функции в соответствующих точках и их значениями. 1. 1. -11 2. 2. 0 3. 3. 5

7 .Угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке  равен ….6

4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Наибольшее и наименьшее значения функция непрерывная на отрезке принимает на концах этого отрезка или в корнях производной функции, попавших в отрезок.

Пример Найти наибольшее значение функции  на отрезке 

Сравнивая значения  и   наибольшее значение функции равно 18.

 на отрезке  равно …10

1.Функция  имеет на отрезке  наименьшее значение, равное …-5

2.Наименьшее значение функции  на отрезке  равно …1

3.Наименьшее значение функции  на отрезке  равно …

4.Наибольшее значение функции  на отрезке  равно …9

5.Наименьшее значение функции  на отрезке  равно …7

5. Экстремум функции

Для отыскания точек экстремума нужно найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.

Найти вторую производную и подставить в неё корни первой производной, определить знак результата и сделать вывод.

Для отыскания экстремума надо подставить точку экстремума в данную функцию и вычислить её значение.

Пример 1: найти точку минимума

.  – точка минимума

Пример 2: Найти максимум и минимум функции

аналогично

Вывод: , точки минимума , -1-это минимум функции

, вывод это точка максимума, значение в этой точке равно 0-это максимум функции.

1.Для функции  точка минимума принимает значение, равное …1

2.Для функции  точка максимума принимает значение, равное …   2   

3.Для функции  точка минимума  принимает значение, равное …1

4.Для функции  точка минимума  равна …5

5.Для функции  точка максимума принимает значение, равное …3

6. Для функции  точка максимума  принимает значение, равное …2

7. Для функции  точка минимума  равна …-5

,

8. Расположите функции, определенные на всей числовой прямой, знаки производных которых указаны на рисунках, по возрастанию количества точек минимума

3.

9. Абсциссой точки перегиба графика функции  является …-1

6. Дифференциал функции

Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке можно использовать формулу:

 где приращение функции в точке  Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения  и  выбираются так, чтобы можно было вычислить  и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше.

пример: .Так как , то можно рассмотреть функцию Пусть  тогда Имеем: По формуле получим:

1. приближенное значение выражения равно …

2. приближенное значение выражения равно …  

3.  приближенное значение выражения равно … 0,98

4.  приближенное значение выражения равно …

5.  приближенное значение выражения равно …

6.  приближенное значение выражения равно …

7.  приближенное значение выражения равно …

.

2.Неопределенный интеграл  равен …

(используй формулу 2)