7.2 Вероятностное описание случайной погрешности

Пусть произведено измерение некоторой величины х. Обозначим результат изме­рения x_изм. Абсолютная погрешность измерения равна

x = x_изм – x.

Погрешность x является случайной величиной и может быть представлена в виде суммы математического ожидания m_x и центрированной случайной величины :

.

Неслучайную составляющую m_x называют систематической погрешностью, а центрированную случайную величину - случайной погрешностью.

Если систематическая погрешность m_x известна, то результат измерения можно исправить, введя поправку:

х_испр = х_изм - m_x.

Аналогично исправить случайную погрешность не представляется возможным, так как конкретное значение этой погрешности в каждом измерении неизвест­но. Случайная погрешность может быть проанализирована вероятностными методами. Влияние случайной погрешности на результат измерения может быть оценено следующим образом. Задаются некоторыми предельными значениями погрешностей ₁ и ₂ и находят вероятность того, что измеряемая величина находится в интервале [ х_изм -₁ ; х_изм + ₂]. Этот интервал называется доверительным , а вероятность того, что измеряемая величина находится внутри этого интервала – доверительной вероятностью Р_Д.

В том случае, когда случайная погрешность распределена по нормальному закону часто доверительный интервал представляют в симметричной форме:

г де z=/, Ф(z₁) – интеграл вероятности, обычно определяемый по таблицам. На рис. 7.3. показана зависимость интеграла вероятности от соотношения между текущей погрешностью  и ее средним квадратическим значением . Погрешность, интеграл веро­ятности которой равен 0,5 называют вероятной погрешностью . Для этой погрешности характерно то, что при повторных измерениях примерно в половине случаев фактическая погрешность будет меньше , а в другой половине случаев – больше или равна . Значение вероятной ошибки =0,6745. Из рис.7.3. видно, что по мере роста аргумента / интеграл вероятности быстро приближа­ется к единице. Другими словами, по мере расши­рения доверительного интервала вероят­ность того, что случайная погрешность не превысит этот интервал, быстро падает. Так, вероятность того, что погрешность измере­ния не превысит 2, равна 0,954. То есть из тысячи измерений только в 46 случаях по­грешность превысит 2. Аналогично, только в 3-х случаях погрешность превысит 3. Такое событие можно считать весьма маловероятным. Доверительная погрешность, равная 3, называется граничной. Если в ряду измерений встречают погрешность >3, то такое измерение полагают промахом и в дальнейшей обработке результатов измерений не учитывают . Этот критерий известен как “правило 3“. В теории вероятностей и математической статистике находит применение также термин “а%-ный квантиль” – такая абсцисса функции распределения плотности вероятности, слева от которой находится а% площади под графиком этой функции. Другими словами, вероятность Р_а% того, что случайная погрешность  < _а%, равна а% . Интерквантильным промежутком называют разность между а%-ным и (100 - а)%-ным квантилями.

Нормальное распределение является часто встречающимся, но единственным в метрологии и измерительной технике. Находят также равномерное распределение:

По этому закону распределяются погрешности от трения в опорах стрелочных приборов, погрешности округления, погрешности отсчета результата по шкале прибора. Дисперсия равномерного распределения равна а²/12.

Треугольный закон распределения:

П о преугольному закону распределяется сумма двух случайных величин, каждая из которых распределена равномерно.