4. Модель смо с ожиданием

Рассмотрим одну из простейших систем обслуживания М/М/1, её модель представлена на рис. 3.8. Из обозначения системы следует: процесс поступления заявок ‑ пуассоновский, объем буферной памяти не ограничен, распределение времени обслуживания ‑ экспоненциальное. Заявки обслуживаются по принципу FIFO.

Рис. 3.8. Модель системы обслуживания М/М/1

Предположение о бесконечности числа мест для ожидания в системе представляется вполне обоснованным, так как проблемы с недостатком памяти возникают все реже и в ближайшем будущем, по-видимому, перестанут вызывать практические затруднения.

Основные характеристики системы обслуживания М/М/1

1. Коэффициент загрузки устройства – ρ

ρ= λ m₁{t_обсл}= λ /μ <1,

где λ – интенсивность потока заявок,

m₁{t_обсл} – среднее значение времени обслуживания, m₁{t_обсл}=1/μ,

μ – интенсивность обслуживания.

Пусть СМО работает достаточно длительное время T, тогда число заявок в системе равно λT, среднее время обслуживания заявок – λ T m₁{t_обсл}, а вероятность обслуживания заявки:

.

Таким образом, коэффициент загрузки является вероятностью обслуживания заявки в канале.

Коэффициент загрузки имеет смысл только для установившихся режимов.

2. Коэффициент простоя канала (вероятность того, что в устройстве нет заявки)– η

η=1-ρ.

3. Время ожидания заявки в системе –t_ож;

4. Время пребывания заявки в системе ‑ t_c

t_c=t_ож +m₁{t_обсл},

5. Средняя длина очереди ‑ l

l=λ m₁{t_ож}

6. Среднее число заявок в системе – m₁{n}

m₁{n}=λ (t_ож +m₁{t_обсл}).

5. Модель смо без ожидания

Рассмотрим простую СМО, которая состоит из трёх одинаковых каналов; входной поток ‑ простейший с параметром ; время обслуживания в канале одной заявки постоянно и равно t_обсл. Данная СМО является системой без ожидания, т.е. заявка, заставшая все каналы занятыми, покидает систему. Дисциплина обслуживания такова: если в момент поступления k-ой заявки первый канал свободен, то он приступает к обслуживанию заявки; если этот канал занят, то заявку обслуживает второй канал и т.д. Надо определить, сколько заявок в среднем обслужит система за время Т и сколько в среднем она даст отказов.

За начальный момент расчета выбирают момент поступления первой заявки t₁ = 0. Введем следующие обозначения: t_к - момент поступления k-ой заявки; t_k ‑ промежуток времени между поступлением в систему k-ой и (k + 1)-ой заявки; t_i — момент окончания обслуживания требования i-ым каналом.

Предположим, что в момент t₁ все каналы свободны. Первая заявка поступает в первый канал, в течение времени обслуживания  этот канал занят. Поэтому полагают T₁=t₁+, добавляют единицу к счетчику обслуженных заявок и переходят к рассмотрению второй заявки.

Предположим, что k заявок уже рассмотрено. Определим момент поступления (k+1)-ой заявки. Для этого найдем очередное значение x_k равномерно распределенной случайной величины, вычислим очередное значение экспоненциально распределенной случайной величины t_k, а затем момент поступления (k+1)-ой заявки t_k+1= t_k+t_k.

Чтобы узнать, свободен ли в этот момент первый канал, необходимо проверить условие . Если это условие выполнено, то к моменту t_k+1 первый канал освободился и может обслуживать заявку. В этом случае T₁ присваивается значение t_k+1+, добавляется единица к счетчику обслуженных заявок и происходит переход к следующей заявке.

Если , то первый канал в момент t_k+1 занят. В этом случае проверяем, свободен ли второй канал. Если условие выполнено, присваиваем t₂ значение t_k+1+, добавляем единицу к счетчику обслуженных заявок и переходим к следующей заявке.

Если , то проверяем условие . Если все каналы оказались заняты, то в этом случае прибавляем единицу в счетчик отказов и переходим к рассмотрению следующей заявки. Результаты моделирования можно оформить в виде таблицы регистрации результатов имитации одной реализации (табл. 3.1).

Таблица 3.1

№ заявки (k)	Случайное число xk	tk	Момент поступления заявки tk	Момент окончания обслуживания заявки i-ым каналом				Счетчик обслуженных заявок		Счетчик отказов
				i=1	i=2	i=3

Каждый раз, вычислив t_k+1, надо проверить еще условие окончания реализации t_k+1>T. Если это условие выполнено, то одна реализация случайного процесса функционирования системы воспроизведена и опыт заканчивается. В счетчике обслуженных требований и в счетчике отказов находятся числа n_о6сл и п_отк.

Получив п реализаций случайного процесса, т.е., повторив такой опыт п раз, определяют оценки математических ожиданий числа обслуженных требований m₁{п_о6с} и числа требований, получивших отказ m₁{п_отк}.

25