Согласованное управление разнотемповыми процессами

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра Механики и Процессов Управления

Курсовая работа Согласованное управление разнотемповыми процессами

Специальность 150300 «Прикладная Механика»

Курсовая работа студента третьего курса группы 3055/2 очной формы обучения

Грищенко Алексея Ивановича

Руководитель: проф. Бурдаков Сергей Федорович

Санкт-Петербург

2011 год

Оглавление.

Оглавление

Оглавление 2

Часть 1. Анализ объекта управления. 3

1. Постановка задачи 3

2. Математические модели объекта управления 4

2.1. Уравнение в переменных состояния 4

2.2. Передаточная функция 5

2.3. Весовая функция 6

2.4. Уравнение вход-выход 8

2.5. Частотные характеристики 9

3. Свойства системы 11

3.1. Устойчивость 11

3.2. Анализ минимально фазовости объекта 12

3.3. Исследование управляемости и наблюдаемости 13

3.4. Анализ установившихся режимов 16

3.5. Окончательный выбор параметров и его обоснование. 17

4. Процессы в объекте управления. 20

4.1. Импульсное воздействие. 20

4.2. Ступенчатое воздействие. 22

4.3.Гармоническое воздействие. 25

Часть 2. Синтез законов управления для систем с обратной связью. 29

1. Структурная схема системы с регулятором 29

2. Настройка контура управления. 30

3. Настройка контура оценивания. 33

4. Завершение построения системы. 36

5.Сравнение результатов автоматического управления по средством обратнай связи с командным управлением 38

Приложение 41

Часть 1. Анализ объекта управления.

1. Постановка задачи

В данной работе рассматривается модель развития многоотраслевой экономики В.В. Леонтьева в частном случае для двух отраслей.

k

1-k

Выбранные данные для модели:

2. Математические модели объекта управления

2.1. Уравнение в переменных состояния

Вектор состояния представим в следующем виде:

Тогда система линейных дифференциальных уравнений, описывающих систему, выглядит

соответственно запишем следующие матрицы и векторы:

2.2. Передаточная функция

Так как задача была уже ранее описана в переменных состояний, то сделаем переход по уже имеющейся математической формуле:

Передаточная функция, вычисленная при помощи символьной алгебры в MatLab по той же формуле, которая совпадает с найденной аналитически (М-файл №1 в приложении):

H =(k*(10*k1 + a2*k2 + k1*p))/(p*(p^2 + 110*p - a1*a2 + 1000)) - ((k - 1)*(100*k2 + a1*k1 + k2*p))/(p*(p^2 + 110*p - a1*a2 + 1000))

Очевидно из блок-схемы, что две другие передаточные функции, которые входят в состав уже имеющийся, могут быть представлены в виде:

Очевидно, выполняется равенство, которое следует из блок-схемы и структурных свойств систем управления:

2.3. Весовая функция

Весовая функция определяется просто: как обратное преобразование Лапласа, от уже найденной передаточной функции, или как некоторое линейное преобразование от также заранее найденных переменных состояния (однако здесь требуется вычисление матричной экспоненты):

Искать весовую функцию буду в виде обратного преобразование Лапласа от передаточной функции. Для упрощения введу некоторые обозначения - это коэффициенты числителя и два корня квадратного уравнения знаменателя, взятые с обратными знаками:

Тогда передаточная функция примет более простой вид, который можно с легкостью разложить по элементарным дробям:

Для которой, обратное преобразование Лапласа можно провести с помощью таблицы:

И задача сводится к определению этих коэффициентов, которые легко находятся после приведения правой части формулы для передаточной функции к общему знаменателю и приравниванию коэффициентов перед р. Составляем систему алгебраических уравнений:

Решая систему, получаем соответственно следующие значения коэффициентов:

Из соображений компактности и читабельности формулы не будем, подставлять значения коэффициентов, а будем считать их константами, которые определяются значениями коэффициентов перекрестных связей и коэффициента усиления.

Результат, который получается при использовании символьной алгебры MatLab (обратное преобразование Лапласа, в случае с вычислением через переменные состояния ответ получается слишком некомпактным, поэтому здесь не приведен):

h =

((cosh(t*(a1*a2 + 2025)^(1/2)) + (sinh(t*(a1*a2 + 2025)^(1/2))*((10000*k2 + 110*a1*k1 + 100*k*k1 - 10000*k*k2 + a1*a2*k2 - 110*a1*k*k1 + 110*a2*k*k2 + a1*a2*k*k1 - a1*a2*k*k2)/(100*k2 + a1*k1 + 10*k*k1 - 100*k*k2 - a1*k*k1 + a2*k*k2) - 55))/(a1*a2 + 2025)^(1/2))*(100*k2 + a1*k1 + 10*k*k1 - 100*k*k2 - a1*k*k1 + a2*k*k2))/(exp(55*t)*(a1*a2 - 1000)) - (100*k2 + a1*k1 + 10*k*k1 - 100*k*k2 - a1*k*k1 + a2*k*k2)/(a1*a2 - 1000)

Сравним теоритические результаты с результатами полученными численно, с помощью MatLab, подставив определенные численные значения и сравним их (М-файл №2 в приложении):

h1 = 0.0217

h = 0.0217

hm= 0.0217

Где h1 – ответ, полученный аналитически

h – ответ, полученный при обратном преобразовании Лапласа

hm – ответ, полученный при вычислении через переменные состояния

Что и следовало ожидать, ответы совпали, значит можно с определенной долей вероятности говорить о верности аналитического решения.