- •Министерство общего и профессионального образования
- •Учебное пособие
- •Предисловие.
- •Глава I. Фундаментальные идеи квантовой механики
- •§1. Идея о дискретности значений физических величин
- •1.1. Классическая теория равновесного излучения
- •1.2. Гипотеза Планка. Формула Планка. Фундаментальная постоянная Планка.
- •§2. Корпускулярно-волновой дуализм.
- •2.1. Квантовая теория света Эйнштейна.
- •2.2. Гипотеза де Бройля. Волна де Бройля.
- •2.3. Соотношение неопределенностей. Волновой дуализм.
- •§3. Статистический характер квантовых закономерностей.
- •3.1. Вероятностный характер поведения микрообъектов.
- •3.2. Статистический характер квантовой механики.
- •3.3. Статистическая интерпретация волновой функции.
- •3.4. Интерференция электронов от двух щелей.
- •Глава II. Математический аппарат и аксиоматика квантовой механики.
- •§ 4. Математический аппарат квантовой механики.
- •4.1. Векторы в линейном векторном пространстве.
- •4.2. Операторы в линейном векторном пространстве.
- •В) Собственные векторы и собственные значения самосопряжённых операторов.
- •§5. Принципы и постулаты квантовой механики.
- •1. Принцип соответствия.
- •2. Определение состояния квантовой системы.
- •4.Постулат квантования.
- •5.1. Принцип соответствия.
- •5.2. Определение состояния квантовой системы.
- •Принцип суперпозиции состояний.
- •Постулат квантования.
- •Правила квантования.
- •5.6. Вычисление средних значений физических величин.
- •5.7. Принцип тождественности (неразличимости) одинаковых частиц.
- •Глава 3. Основы теории представлений
- •§6. Координатное представление
- •6.1. Векторы состояния в координатном представлении
- •6.2. Операторы физических величин в координатном представлении
- •Операторы кинетической энергии, момента импульса, функции Гамильтона, энергии в координатном представлении.
- •6.3. Средние значения физических величин в координатном представлении
- •§7. Импульсное представление
- •7.1. Векторы состояния и операторы физических величин в импульсном представлении
- •§8. Матричное представление.
- •8.1. Векторы состояния в матричном представлении
- •8.2. Операторы физических величин в матричном представлении
- •8.3. Средние значения физических величин и матрицы плотности
- •Глава IV. Одновременная измеримость физических величин. Соотношения неопределенностей Гейзенберга.
- •§ 9. Одновременная измеримость физических величин.
- •9.1. О возможности одновременно точного определения динамических переменных (наблюдаемых).
- •9.2. Условие возможности одновременного измерения двух физических величин.
- •§ 10. Полный набор физических величин. Перестановочные соотношения Гейзенберга.
- •§ 11. Вывод соотношений неопределенностей для координат и канонически сопряженных импульсов.
- •§ 12. Соотношения неопределенностей для произвольных
- •Глава V. Квантовая динамика. Эволюция квантовых систем во времени
- •§13. Эволюция квантовой системы во времени: уравнение Гейзенберга
- •§14. Шредингеровская картина движения. Волновое уравнение Шредингера
- •§15. Уравнение фон Неймана. Сопоставление способов описания эволюции квантовых систем во времени.
- •15.1. Уравнение фон Неймана для матрицы плотности.
- •15.2. Сопоставление способов описания эволюции квантовых систем во времени
- •15.3. Принцип причинности
- •§16. Следствия из квантовых уравнений движения.
- •16.1. Стационарные состояния в квантовой механике.
- •16.2. Законы сохранения (интегралы движения) в квантовой механике
- •Закон сохранения энергии.
- •Закон сохранения импульса.
- •Закон сохранения момента импульса.
- •Глава VI. Квантовая теория гармонических колебаний и волн.
- •1) Квантовая электродинамика.
- •2) Квантовая теория колебаний кристаллической решётки.
- •3) Квантовая теория колебаний атомов в молекуле.
- •4) Частица в потенциальной яме.
- •§17. Спектр значений энергии гармонического осциллятора.
- •Координатное представление;
- •Импульсное представление;
- •§18. Стационарные состояния гармонического осциллятора. Координатное, импульсное и матричное представления.
- •1). Координатное представление.
- •2). Импульсное представление.
- •3). Матричное представление.
- •Глава VII. Квантовая теория момента.
- •§ 19. Общие свойства и особенности квантового момента.
- •§ 20. Собственные значения и собственные векторы проекции и квадрата момента.
- •§ 21. Орбитальный и спиновый моменты. Спин как внутренняя степень свободы.
- •§ 22. Спин электрона. Матрицы Паули и их свойства.
- •§ 23. Сложение квантовых моментов.
- •§ 24. Уравнение Паули. Собственный магнитный момент электрона.
- •§ 25. Спин электрона и релятивистская теория. Уравнение Дирака.
- •Глава VIII. Движение квантовых частиц в сферически симметричном потенциале. Атом водорода.
- •§25. Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции.
- •§26. Движение электрона в кулоновском потенциале. Стационарное уравнение Шредингера для радиальной составляющей волновой функции. Асимптотика уравнения на малых и больших расстояниях.
- •§27. Спектр энергии. Радиальные волновые функции. Полиномы Лаггера.
- •§28. Сферические гармоники и их свойства.
- •28.1 Шаровые функции.
- •28.2 Свойства сферических гармоник и их явные выражения.
- •28.3 Закон сохранения чётности.
- •Глава VIII. Преобразования симметрии
- •§ 8.1. Необходимые и достаточные признаки симметрии
- •§ 8.2. Микроскопическая обратимость во времени в квантовой механике
- •§ 8.3. Бесконечно малые преобразования симметрии. Законы сохранения в квантовой механике
- •§ 8.4. Трансляционная симметрия кристаллических тел. Функции Блоха
§ 8.4. Трансляционная симметрия кристаллических тел. Функции Блоха
Вся квантовая механика инвариантна относительно унитарных операторов. Некоторые из них оставляют инвариантными уравнения движения. Эти операторы есть преобразования симметрии.
Если преобразования симметрии не затрагивают время, то симметрии этой физической системы означает инвариантность гамильтониана системы, т.е. .
В физике кристаллические тела обладают повышенной симметрией. Для них характерен определенный порядок в кристалле.
Выделим в кристалле направление , где - период решетки. При трансляции на вектор , где - целое число, кристалл совмещается сам с собой.
Все спектры энергии возбуждения кристалла определяются трансляционной симметрией.
Рассмотрим простейшую ситуацию одномерного кристалла. Состояние системы определяется уравнением Шредингера: . Введем оператор симметрии (кристалл не меняется при трансляции на период решетки ), т.е. .
А так как оператор трансляции и гамильтониан коммутируют, т.е. , следовательно, они имеют полную систему общих собственных векторов:
Нужно найти собственные вектора и собственные значения оператора симметрии для того, чтобы подставить их в уравнение Шредингера и найти оттуда спектр энергии в кристалле.
Обратим внимание на то, что комплексная функция, и поэтому ее можно представить в виде:
,
где - действительные функции.
Рассмотрим, чему равна плотность вероятности :
,
так как трансляция на вектор не меняет кристалл. Это возможно тогда и только тогда, когда - периодическая функция, т.е. .
Мы ищем решения в виде:
.
Подставляем это решение в уравнение :
.
Отсюда следует, что .
Представим в виде ряда:
,
в определенной системе отсчета можно задать .
Подставляя значение в выражение для собственного значения оператора трансляции , получаем:
где - действительное число, - период решетки.
- функция периодическая:
,
где - вектор обратной решетки.
Квантовое число можно задать в пределах этого периода: , называемого элементарной ячейкой обратной решетки.
Таким образом, собственное значение оператора трансляции есть периодическая функция с периодом обратной решетки.
Исходя из этого, можно сделать вывод, что энергия в кристалле тоже периодическая функция с периодом обратной решетки:
.
При данном значении могут быть, вообще говоря, несколько значений энергии .
При трансляционной симметрии в таком кристалле состояние описывается формулами Блоха, которые определяются произвольной периодической функцией и выражаются через период решетки или через квазиимпульс:
или .
Функция Блоха запишется так:
.
Учтем тот факт, что энергия в кристалле есть периодическая функция и четная относительно обращения во времени .
1 Стефан установил этот закон в 1879г. на основании опытных данных, а в1884г. Больцман получил этот закон, исходя из второго начала термодинамики.
2 На опыте обычно измеряют не , а энергию , излучаемую в 1с черным телом с 1 см2 его поверхности в одну сторону , в этом случае , откуда , т.е. зная , вычисляют .
1 Предложенный первоначальный вывод формулы Планка страдает рядом недостатков. При рассуждениях непоследовательно соединялись противоречивые понятия осцилляторов и стоячих волн в полости
1 За работы по вопросам квантовой механики М. Борну в 1954 г. присуждена Нобелевская премия.
1Сложность эксперимента обусловлена тем, что дебройлевская длина волны электронов существенно меньше длин волн видимого света.
1 Система собственных векторов является ортогональной и полной не только для эрмитова оператора, но и для операторов более широкого класса.
1 Плоские монохроматические волны де Бройля (5.1), описывая состояние идеализированного объекта (свободной частицы), являются векторами унитарного пространства, т.к. их норма не равна 1; но суперпозиция таких векторов даёт волновые пакеты, представляющие векторы Г–пространства.
1 Как уже отмечалось, в квантовой механике используются векторы Г-пространства с расширением, т.е. векторы, норма у которых равна 1, и векторы, которые нормируются на -функцию Дирака.
1 Для случая частицы, движущейся с заданным вектором импульса , волновая функция
1 По определению сопряжённого оператора, если то
2 Термин «представление» здесь используется в более широком смысле: в смысле картины эволюции во времени квантовой системы. Этот термин часто используется в более узком смысле: координатное, импульсное, энергетическое и т.д. представления.
1 Оператор матрицы плотности зависит от некоторых переменных, например, в координатном представлении от координат. В связи с этим при дифференцировании по времени использован знак частной производной.