- •Министерство общего и профессионального образования
- •Учебное пособие
- •Предисловие.
- •Глава I. Фундаментальные идеи квантовой механики
- •§1. Идея о дискретности значений физических величин
- •1.1. Классическая теория равновесного излучения
- •1.2. Гипотеза Планка. Формула Планка. Фундаментальная постоянная Планка.
- •§2. Корпускулярно-волновой дуализм.
- •2.1. Квантовая теория света Эйнштейна.
- •2.2. Гипотеза де Бройля. Волна де Бройля.
- •2.3. Соотношение неопределенностей. Волновой дуализм.
- •§3. Статистический характер квантовых закономерностей.
- •3.1. Вероятностный характер поведения микрообъектов.
- •3.2. Статистический характер квантовой механики.
- •3.3. Статистическая интерпретация волновой функции.
- •3.4. Интерференция электронов от двух щелей.
- •Глава II. Математический аппарат и аксиоматика квантовой механики.
- •§ 4. Математический аппарат квантовой механики.
- •4.1. Векторы в линейном векторном пространстве.
- •4.2. Операторы в линейном векторном пространстве.
- •В) Собственные векторы и собственные значения самосопряжённых операторов.
- •§5. Принципы и постулаты квантовой механики.
- •1. Принцип соответствия.
- •2. Определение состояния квантовой системы.
- •4.Постулат квантования.
- •5.1. Принцип соответствия.
- •5.2. Определение состояния квантовой системы.
- •Принцип суперпозиции состояний.
- •Постулат квантования.
- •Правила квантования.
- •5.6. Вычисление средних значений физических величин.
- •5.7. Принцип тождественности (неразличимости) одинаковых частиц.
- •Глава 3. Основы теории представлений
- •§6. Координатное представление
- •6.1. Векторы состояния в координатном представлении
- •6.2. Операторы физических величин в координатном представлении
- •Операторы кинетической энергии, момента импульса, функции Гамильтона, энергии в координатном представлении.
- •6.3. Средние значения физических величин в координатном представлении
- •§7. Импульсное представление
- •7.1. Векторы состояния и операторы физических величин в импульсном представлении
- •§8. Матричное представление.
- •8.1. Векторы состояния в матричном представлении
- •8.2. Операторы физических величин в матричном представлении
- •8.3. Средние значения физических величин и матрицы плотности
- •Глава IV. Одновременная измеримость физических величин. Соотношения неопределенностей Гейзенберга.
- •§ 9. Одновременная измеримость физических величин.
- •9.1. О возможности одновременно точного определения динамических переменных (наблюдаемых).
- •9.2. Условие возможности одновременного измерения двух физических величин.
- •§ 10. Полный набор физических величин. Перестановочные соотношения Гейзенберга.
- •§ 11. Вывод соотношений неопределенностей для координат и канонически сопряженных импульсов.
- •§ 12. Соотношения неопределенностей для произвольных
- •Глава V. Квантовая динамика. Эволюция квантовых систем во времени
- •§13. Эволюция квантовой системы во времени: уравнение Гейзенберга
- •§14. Шредингеровская картина движения. Волновое уравнение Шредингера
- •§15. Уравнение фон Неймана. Сопоставление способов описания эволюции квантовых систем во времени.
- •15.1. Уравнение фон Неймана для матрицы плотности.
- •15.2. Сопоставление способов описания эволюции квантовых систем во времени
- •15.3. Принцип причинности
- •§16. Следствия из квантовых уравнений движения.
- •16.1. Стационарные состояния в квантовой механике.
- •16.2. Законы сохранения (интегралы движения) в квантовой механике
- •Закон сохранения энергии.
- •Закон сохранения импульса.
- •Закон сохранения момента импульса.
- •Глава VI. Квантовая теория гармонических колебаний и волн.
- •1) Квантовая электродинамика.
- •2) Квантовая теория колебаний кристаллической решётки.
- •3) Квантовая теория колебаний атомов в молекуле.
- •4) Частица в потенциальной яме.
- •§17. Спектр значений энергии гармонического осциллятора.
- •Координатное представление;
- •Импульсное представление;
- •§18. Стационарные состояния гармонического осциллятора. Координатное, импульсное и матричное представления.
- •1). Координатное представление.
- •2). Импульсное представление.
- •3). Матричное представление.
- •Глава VII. Квантовая теория момента.
- •§ 19. Общие свойства и особенности квантового момента.
- •§ 20. Собственные значения и собственные векторы проекции и квадрата момента.
- •§ 21. Орбитальный и спиновый моменты. Спин как внутренняя степень свободы.
- •§ 22. Спин электрона. Матрицы Паули и их свойства.
- •§ 23. Сложение квантовых моментов.
- •§ 24. Уравнение Паули. Собственный магнитный момент электрона.
- •§ 25. Спин электрона и релятивистская теория. Уравнение Дирака.
- •Глава VIII. Движение квантовых частиц в сферически симметричном потенциале. Атом водорода.
- •§25. Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции.
- •§26. Движение электрона в кулоновском потенциале. Стационарное уравнение Шредингера для радиальной составляющей волновой функции. Асимптотика уравнения на малых и больших расстояниях.
- •§27. Спектр энергии. Радиальные волновые функции. Полиномы Лаггера.
- •§28. Сферические гармоники и их свойства.
- •28.1 Шаровые функции.
- •28.2 Свойства сферических гармоник и их явные выражения.
- •28.3 Закон сохранения чётности.
- •Глава VIII. Преобразования симметрии
- •§ 8.1. Необходимые и достаточные признаки симметрии
- •§ 8.2. Микроскопическая обратимость во времени в квантовой механике
- •§ 8.3. Бесконечно малые преобразования симметрии. Законы сохранения в квантовой механике
- •§ 8.4. Трансляционная симметрия кристаллических тел. Функции Блоха
6.2. Операторы физических величин в координатном представлении
Основная проблема квантовой механики - проблема квантования - связана с определением явного вида операторов физических величин.
Пусть некоторая физическая величина изображается линейным эрмитовым оператором , состояние же квантовой системы описывается вектором . В общем случае
, (6.9)
где .
В координатном представлении состояние квантовой системы описывается комплексной функцией координаты x:
(x), где (x) = (x,),
(x), где (x) = (x, ).
Следовательно, оператор в координатном представлении каждой функции ставит в соответствие функцию :
(6.10)
Если учесть, что каждая физическая величина есть функция канонических переменных, т.е. , где (s - число степеней свободы), тогда согласно принципу соответствия соотношения между физическими величинами и каноническими переменными (координатами и обобщенными импульсами) переносятся на операторы физических величин.
Таким образом, очень важно установить явный вид операторов координат и проекций импульсов . Для этого прежде всего рассмотрим одномерную задачу.
Оператор координаты x в координатном представлении.
Пусть , тогда уравнение (6.9) примет вид:
(6.9`)
В координатном представлении это уравнение преобразуется в согласии с (6.10):
(6.10`)
Разложим векторы и в интеграл Фурье по базисным векторам , для которых справедливы уравнения (6.1), и подставим в левую часть уравнения (6.9`):
Тогда уравнение (6.10`) записывается в виде:
откуда
(6.11)
Сравнивая (6.10`) и (6.11), получаем
(6.12)
Следовательно, в координатном представлении оператор координаты есть сама координата , т.е. оператор в координатном представлении есть простая операция умножения на эту координату.
Аналогичным образом можно показать, что
т.е. (6.13)
Оператор в координатном представлении.
Для частицы, движущейся вдоль оси , . Пусть эта физическая величина изображается эрмитовым оператором . Запишем уравнение для собственных векторов и собственных значений этого оператора :
(6.14)
Для конкретного значения импульса это уравнение имеет вид:
(6.14`)
Учтем, что в случае непрерывного спектра собственных значений оператора собственные его векторы нормируются на -функцию Дирака:
(6.15)
Разложим вектор по собственным векторам оператора :
(6.16)
где - проекции собственных векторов , совокупность которых определяет вектор в координатном представлении, т.е. является волновой функцией частицы с заданной величиной импульса. Согласно гипотезе деБройля в качестве такой волновой функции следует взять плоскую монохроматическую волну Таким образом,
. (6.17)
Определим нормировочный коэффициент c, пользуясь условием (6.15):
Переходя к новой переменной интегрирования и учитывая определение - функции
(6.18)
для скалярного произведения получим следующий результат:
С учетом условия нормировки (6.15) находим:
откуда
(6.19)
Следовательно, нормированная волновая функция частицы (6.19), движущейся вдоль оси с определенным импульсом , имеет вид:
1 (6.20)
Заметим, что
в то же время уравнение (6.14) позволяет записать
Из сравнения левых частей этих уравнений следует выражение для оператора в координатном представлении
. (6.21)
Правильный явный вид оператора в координатном представлении (6.21) подтверждают расчеты с произвольным вектором квантового состояния системы. Разложим для этого по собственным векторам оператора , а затем по собственным векторам оператора :
где - плотность вероятности обнаружения у частицы координаты , - плотность вероятности обнаружения у частицы импульса .
Тогда волновая функция с учетом (6.17) может быть представлена в виде:
(6.22)
Действуя оператором на волновую функцию , получим:
.
Зная явный вид оператора проекций импульса в координатном представлении, подобным образом можно доказать справедливость аналогичных выражений для операторов , т.е.
. (6.23)