8.3. Средние значения физических величин и матрицы плотности

Если состояние квантовой системы описывается вектором , то его можно записать в произвольном «A – представлении». Для этого следует  разложить в ряд по собственным векторам оператора :

.

Тогда среднее значение некоторой физической величины в состоянии  представится в виде:

, (8.17)

где - матричный элемент оператора в «A – представлении».

Обозначим

, (8.18)

где - матричный элемент некоторого оператора . Матрица оператора является также эрмитовой и называется матрицей плотности. Согласно определению матричного элемента оператора

, (8.19)

причем диагональные элементы матрицы плотности определяют вероятности (или плотности вероятностей) измерения какой-либо физической величины.

Очевидно, сумма диагональных элементов матрицы плотности равна единице:

, (8.20)

где знак - «шпур» – означает сумму диагональных элементов матрицы.

Тогда формула для среднего значения физической величины в состоянии  примет вид:

,

т.е.

. (8.21)

Таким образом, матрица плотности есть оператор, с помощью которого вычисляется среднее значение любой физической величины. Описание состояний систем с помощью матрицы плотности является наиболее общей формой квантовомеханического рассмотрения. Даже смешанные состояния квантовомеханических систем описываются матрицей плотности.

Глава IV. Одновременная измеримость физических величин. Соотношения неопределенностей Гейзенберга.

§ 9. Одновременная измеримость физических величин.

9.1. О возможности одновременно точного определения динамических переменных (наблюдаемых).

В классической механике частицу в каждый момент времени характеризуют определенными значениями координат и проекциями импульсов.

В квантовой же механике дело обстоит иным образом. Для этого рассмотрим одномерное движение частицы вдоль оси OX с заданным импульсом , состояние которой описывается в координатном представлении волновой функцией (6.17):

.

Вероятность измерения координаты в этом состоянии определяется плотностью вероятности . Таким образом, все значения координаты у частицы в этом состоянии оказываются равновероятными.

Если же иметь состояние с определенным значением координаты , которое описывается волновой функцией в импульсном представлении (7.11):

,

то в этом случае равновероятными оказываются все значения импульса : Из приведенных примеров следует, что в квантовой области не существует таких состояний частиц, в которых импульс и сопряженная ему координата одновременно имели бы определенные значения. В таком же взаимоисключающем положении находятся и многие другие величины.

Таким образом, в квантовой механике некоторые физические величины не могут иметь определенных значений в одном и том же состоянии системы, т.е. эти величины не могут быть одновременно измеримы. В связи с этим необходимо вывести условие одновременной измеримости физических величин.

Согласно четвертому постулату квантовой механики каждой физической величине сопоставляется линейный эрмитов оператор : . Динамическая переменная имеет в состоянии определенное значение, если вектор состояния совпадает с одним из собственных векторов оператора , т.е. если , то физическая величина в этом состоянии имеет значение .

Пусть собственный вектор оператора является одновременно собственным вектором и оператора , тогда этот вектор удобно записать в виде , т.к.

(9.1)

Такой вектор состояния называется общим собственным вектором операторов и и описывает такое состояние, в котором функции величин А и В имеют определенное значение. Если система общих собственных векторов операторов и является полной, тогда любой вектор состояния можно представить в виде суперпозиции:

,

где квадраты коэффициентов разложения определяют вероятность получения определенных значений и при измерении физических величин и . В этом случае говорят, что физические величины и в принципе одновременно измеримы, что реализуется в случае, когда вектор состояния совпадает с одним из собственных векторов . Следовательно, динамические переменные и одновременно измеримы, если их операторы и имеют общую полную систему собственных векторов.