§8. Матричное представление.
8.1. Векторы состояния в матричном представлении
Вектор состояния
квантовой системы всегда можно разложить
в ряд Фурье по полной системе собственных
векторов
оператора
с дискретным спектром собственных
значений. Если уравнение для собственных
векторов и собственных значений оператора
имеет вид:
,
(8.1)
то
.
(8.2)
Коэффициенты Фурье-разложения определяются формулой:
.
(8.3)
Совокупность коэффициентов
определяет вектор
состояния в «A– представлении». Название
представления связывается с базисными
векторами в разложении (8.2). Эту совокупность
коэффициентов
,
задающую вектор состояния ,
представляют в виде матрицы с одним
столбцом:
.
(8.4)
и это есть матричное представление вектора состояния.
Сопряженный вектор состояния
записывается в виде матрицы с одной
строкой с комплексно сопряженными
элементами
:
.
(8.5)
Если разложить
вектор состояния в интеграл Фурье по
базисным векторам
оператора
с непрерывным спектром собственных
значений, то коэффициенты Фурье-разложения
представляют вектор в координатном
представлении (
-представление).
Бесконечную совокупность значений
комплексной функции
,
называемую волновой функцией, можно
считать непрерывной матрицей – столбцом.
Аналогично, - вектор
в импульсном представлении (
-
представление) изображается матрицей
– столбцом:
.
Матричное представление векторов состояния облегчает в известной мере запись операторных уравнений.
8.2. Операторы физических величин в матричном представлении
Пусть в результате действия эрмитова
оператора
на вектор
получается вектор :
.
(8.7)
Разложим векторы
и по базисным
векторам
уравнения (8.1):
(8.8)
Подставив выражение (8.8) в уравнение
(8.7), умножим его затем скалярно на вектор
:
.
Последнее равенство легко преобразуется к виду:
.
Величину
(8.9)
называют матричным элементом оператора
.
Тогда уравнение (8.7) в «A – представлении»
примет матричную форму:
.
(8.10)
Совокупность матричных элементов
полностью определяет оператор
в матричном «A – представлении». Эту
совокупность
можно представить в виде квадратной
таблицы, имеющей бесконечное число
строк и столбцов. У каждого матричного
элемента первый индекс (m) означает
номер строки, второй (n) – номер
столбца. Эта таблица называется матрицей
величины
(оператора
):
.
(8.11)
Вычислим матричные элементы оператора
в своем собственном представлении, т.е.
когда базисными векторами в разложении
(8.8) являются собственные векторы
оператора
:
.
(8.12)
В этом случае
,
(8.13)
т.е. отличны от нуля лишь диагональные элементы матрицы. Таким образом, оператор в своем собственном представлении изображается диагональной матрицей:
,
(8.11`)
в которой диагональные элементы совпадают
с собственными значениями оператора
.
Эрмитовость операторов, используемых в квантовой механике в матричной форме, выражается следующим образом:
,
т.е. матрица называется самосопряженной или эрмитовой, если
.
(8.14)
Матричное представление операторов
легко обобщается на случай непрерывного
спектра собственных значений. Для этого
достаточно заменить суммы на интеграл
и символ
Кронекера-Вейерштрассе на -функцию
Дирака.
Так матричная запись оператора
в координатном представлении (своем
собственном) выглядит так:
.
(8.15)
Подобным образом оператор
может быть записан в матричной форме в
«p – представлении»:
.
(8.16)