![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Часть I лекционного курса "механика. Кинематика. Динамика. Лекция № 6.
- •Момент инерции тела.
- •Теорема Штейнера.
- •Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.
- •Основной закон динамики вращательного движения.
- •Кинетическая энергия вращательного тела.
- •Работа внешних сил при вращении твердого тела.
Работа внешних сил при вращении твердого тела.
Пусть
твердое тело имеет фиксированную ось
вращения, проходящую через точку О.
( см. рис. 6.11 ). Пусть сила
,
вызывающая вращение тела, приложена в
точке А,
находящейся на расстоянии r
от оси вращения. Под действием этой силы
за промежуток времени dt
тело повернется на малый угол d
и точка приложения силы А
совершит малое перемещение dS.
Рис. 6.11. К выводу формулы для работы внешних сил при вращении твердого тела.
На
рис. 6.11 через
обозначен угол между векторами
,
а через l
– плечо силы
в начале вращения. Т.к. тело абсолютно
твердое, то работа силы
будет равна работе, затраченной на
поворот всего
тела. При повороте тела на угол d
точка приложения силы А
пройдет путь dS
= r*d
и работа
будет равна произведению проекций силы
на направление смещения ( на рисунке
эта проекция обозначена, как
) на величину смещения
:
.
( 6.29 ).
При
проектировании силы
на направление смещения при малой
величине угла d
будет справедливо приближенное
соотношение
,
т.к.
будет являться касательной к окружности
радиусом r в точке А.
Перепишем уравнение ( 6.29 ) несколько иначе:
, ( 6.30 )
учитывая,
что F*l= Мвр.
– вращательный момент силы
относительно оси, проходящей через
точку О.
Выражение ( 6.30 ) можно получить другим способом, используя выражение для кинетической энергии вращающегося тела ( уравнение ( 6.27 ) ).
Воспользуемся тем, что работа, совершаемая всеми приложенными к телу силами, идет на приращение его кинетической энергии. Возьмем дифференциал от обеих частей равенства ( 6.27 ):
(
6.31 ).
При
получении соотношения ( 6.31 ) мы использовали
уравнение ( 6.25 )
и соотношение из кинематики вращательного
движения d
=*dt
.
Таблица соответствия формул для поступательного движения и формул для вращательного движения:
Таблица 6.1.
Поступательное движение. |
Вращательное движение. |
m - масса.
|
I - -момент инерции.
|
Примечание *) : для неподвижной оси вращения.