![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Часть I лекционного курса "механика. Кинематика. Динамика. Лекция № 6.
- •Момент инерции тела.
- •Теорема Штейнера.
- •Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.
- •Основной закон динамики вращательного движения.
- •Кинетическая энергия вращательного тела.
- •Работа внешних сил при вращении твердого тела.
Основной закон динамики вращательного движения.
Если
использовать аналогию между поступательным
и вращательным движением тела, которую
мы установили ранее: m
I;
;
,
то фактически основной закон динамики
вращательного движения, соответствующий
II закону Ньютона для поступательного
движения мы уже получили – это уравнение
( 6.18 ) или ( 6.22 ) ( для изолированной системы
частиц -
уравнение ( 6.23 )). Соответствие в этом
случае формально будет выглядеть так:
.
.
Однако
можно переписать уравнение ( 6.22 ) так,
чтобы получить соответствие форме
записи II закона Ньютона в виде:
.
Рассмотрим
вращение твердого тела, имеющего
закрепленную в пространстве ось вращения.
Пусть угловая скорость вращения при
этом равна
.
Вращение твердого тела обеспечивается
моментом внешних сил
.,
например, от действий внешней силы
( см. рис. 6.9 ).
Рис. 6.9. К выводу основного закона динамики вращательного движения.
Разобьем
тело на i
элементов, так что mi
масса i-
го элемента, ri
-
радиус вектор элемента массой mi,
Vi-
линейная скорость i-
го элемента. При вращении тела вокруг
оси О
элементы тела будут вращаться по
окружностям с радиусами ri
= |,
а вектор линейной скорости Vi
i
–го элемента будет перпендикулярен ri
:
.
Для i-го
элемента тела можно будет найти момент
импульса:
(
6.24 )
При
выводе соотношения (6.24) мы использовали
связь между угловой и линейной скоростями
материальных точек, составляющих твердое
тело: Vi
= ri
(
в векторной
форме:
).
Просуммируем уравнение ( 6.24 ):
.
( 6.24а )
Из
уравнения ( 6.24 ) следует, что
.
Теперь используем совместно уравнения ( 6.22 ) и ( 6.24а ):
.
( 6.25 ).
Уравнение
( 6.25 ) называется основным уравнением
( законом ) динамики вращательного
движения. В таком виде это уравнение
является аналогом основного уравнения
динамики поступательного движения
.
Только в уравнении ( 6.25 ) роль силы играет
момент
силы, роль
массы
играет момент
инерции
тела, а роль
линейного ускорения
– угловое ускорение
В уравнении ( 6.25 ) возможны ситуации,
когда
или
( при замедленном вращении ) - аналогия
с уравнениями для поступательного
движения тела сохраняется и в этом
случае.
Кинетическая энергия вращательного тела.
Пусть
твердое тело вращается вокруг неподвижной
оси, проходящей через точку О ( см. рис.
6.10 ) с угловой скоростью
.
Разобьем твердое тело на i
элементарных частей массой mi
, находящихся
на расстоянии
ri
от оси вращения и имеющих скорость Vi.
Тогда кинетическую энергию каждой части материального тела можно будет выразить следующим образом:
. ( 6.26 ).
Рис. 6.10. К выводу формулы для кинетической энергии вращающегося твердого тела ( относительно не подвижной оси ).
Поскольку кинетическая энергия тела слагается из кинетической энергии его составляющих частей, то:
.
( 6.27 ).
Если твердое тело одновременно движется поступательно и вращается, то его кинетическая энергия будет складываться из кинетической энергии поступательного движения со скоростью V и кинетической энергии вращательного движения вокруг некоторой оси с угловой скоростью :
,
( 6.28 )
где Vc – скорость поступательного движения центр масс тел, Ic - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.
Таким образом, кинетическая энергия тела при сложном движении слагается из кинетической энергии его поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс и энергии вращения вокруг оси, проходящих через центр масс тела.