Момент инерции тела.
При описании поступательного движения тел мы вводили понятие массы тела – меры инертности тела при действии на него кокой - либо силой. Именно масса тела определяет ускорение, с которым будет двигаться тело под воздействием силы.
А достаточно ли знания массы тела, чтобы описать вращательное движение тела вокруг какой либо оси? Оказывается, что для описания вращательного движения кроме массы тела необходимо знать и его момент инерции относительно выбранной оси вращения.
Пусть тело вращается относительно оси, проходящей через точку О (см. рис. 6.3). При вращательном движении точки, обладающие одинаковой массой, но находящиеся на разном расстояние от оси вращения, будут иметь разную инертность.
Во вращательном движении материального тела мерой его инертности является момент инерции. Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения О называется величина равная произведению массы этой точки на квадрат расстояние от точки до оси вращения:
.
.( 6.2 )
Рис. 6.3. К понятию инертности тела.
Чтобы найти момент инерции всего материального тела, необходимо сложить моменты инерции всех материальных точек, составляющих это материальное тело:
.
( 6.3 )
Выражения
( 6.2 ) и ( 6.3 ) показывают, что момент инерции
любого материального тела есть величина
скалярная
и аддитивная,
аналогично массе при поступательном
движении. Аддитивность момента инерции
означает, что если мы имеем 2 или более
материальных тел с моментами инерции
Ii относительно выбранной оси вращения,
то если мы соединим эти тела в одно целое
и заставим эту совокупность материальных
тел вращаться как единое целое относительно
той же самой выбранной оси вращения, то
в соответствии с формулой ( 6.3 ).
Если в формуле ( 6.3 ) сделать предельный переход, учитывая, что суммирование производится по непрерывно меняющейся величине, то суммирование заменится интегрированием, т.е. для точки с mi = dm, находящейся на расстоянии r от оси вращения:
,
( 6.4 )
где интегрирование производится по всему объему однородного материального тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами (x, y, z ).
Выражение ( 6.4 ) однако
несколько некорректно, поскольку не
вполне понятно, как вычислять элементы
dm . В случае,если
плотность материального тела однородна,
т.е.
,
где dV- элементарный объем, то
момент инерции можно выразить иначе;
учитывая, что dm=dV
:
.
( 6.5 )
В качестве примера применения формул ( 6.4 ) и ( 6.5 ) рассмотрим случаи вычисления момента инерции конкретных материальных тел.
1.Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через центр масс.
Пусть однородный стержень имеет длину l массу m и площадь поперечного сечения S ( см. рис. 6.4 ). Для вычисления момента инерции будем использовать формулу ( 6.5 ):
Рис. 6.4. К вычислению момента инерции однородного стержня.
Выберем на расстояние r от оси вращения участок стержня толщиной dr, имеющий объем dV=Sdr. Поскольку стержень предполагается однородным то:
,
(6.6)
т.к. Sl = m.
2. Момент инерции однородного цилиндра относительно оси, параллельной образующей и проходящей через центр масс.
На расстоянии r от оси ОО вращение цилиндра выберем слой толщиной dr (см. рис 6.5 ). Объем этого бесконечно тонкого слоя будет равен:
.
( 6.7 )
Подставим это выражение в формулу (6.5) и получим::
(
6.8 )
Рис. 6.5. К вычислению момента инерции однородного цилиндра.