Тема: «Вычисление определенных интегралов»

Цель работы: изучение методов вычисления определенных интегралов, оценка точности этих методов. Получение практических навыков программной реализации методов вычисления определенных интегралов.

Технические средства: IBM PS AT.

Программное средство: Visual Studio или Delphi

Теоретические сведения

Постановка задачи. Пусть некоторый конечный интервал [а, b] на оси Ох разбит на n подынтервалов [х_i, х_i+1], ко­то­рые в дальнейшем будем называть эле­мен­тар­ны­ми от­рез­ка­ми. Ясно, что без огра­ни­че­ния об­щ­нос­­ти можно по­ло­жить х₀ = а; х_n= b и х₀ < <х₁ < ... <х_n. Через h_i обозначим дли­­ну эле­мен­тар­но­го от­рез­ка (х_i+1 - х_i). Если заданный от­­ре­зок [а, b] разбит рав­но­мерно, то тогда h_i будет по­сто­­ян­на для любой [а, b]. Пусть те­перь на [а, b] опре­де­ле­­на не­­которая функ­ция f(х). Пред­по­ло­жим, что не­об­хо­ди­мо най­ти приближение к определенному ин­­те­г­ра­­лу, которое обозначим . Оче­вид­но так­же, что ес­ли f(х) не­­прерывна [а, b], то тогда мож­­но пре­д­­­­­ста­вить как , где - ин­те­грал функ­­­ции f(х) на эле­ментарном от­рез­ке [х_i+1, х_i], т.е.:

.

Bсякая прос­­тая формула, ап­прок­си­ми­рующая от­­­дель­ный ин­теграл, на­зы­­вaется квад­ра­тур­ной. Составная квад­ра­­тур­ная формула - это фор­му­­­ла, да­ющая при­бли­же­ние ин­­­те­­гра­ла в ви­де суммы при­­ближений ин­те­­гра­ла­ми по дан­­ной квад­ра­тур­ной формуле.

Двумя простейшими квад­ра­тур­ны­ми фор­му­ла­ми яв­ля­ются формулы пря­мо­угольников и тра­пе­ций, ко­то­рые в ря­де случаев оказываются на­иболее эф­фек­­­тив­­ными.

Известны три раз­но­вид­­ности формул пря­мо­у­голь­­ни­ков: это формулы левых, правых и средних пря­­­мо­у­гольников. Все они основаны на ап­про­к­си­ма­­­ции каж­до­го ин­те­гра­ла площадью пря­мо­у­голь­­ника, од­ной из сто­рон которо­го яв­ляется h_i , а вто­­рой - ли­бо значение функ­ции на левом кон­­це отрез­ка (рис.2, а), либо зна­че­ние функ­ции на пра­вом кон­це от­резка (рис. 2, б), либо зна­чение функ­­ции в сред­ней точке от­резка (рис. 2, в).

Квадратурные формулы, ап­прок­си­ми­ру­ю­щие , бу­дут иметь вид:

левых прямоугольников: = h_i f (х_i);

правых прямоугольников: = h_i f (х_i+1);

средних прямоугольников: = h_i f (х_i+1/2).

С учетом представления на элементарном от­­рез­ке со­став­ные квадpатурные формулы пря­мо­­у­голь­ни­ков мо­гут быть записаны так:

левых прямоугольников

; (3.1)

правых прямоугольников

; (3.2)

средних прямоугольников

. (3.3)

В формуле тра­пе­ций ис­­пользуются зна­­­че­ния функ­­­ции в кон­це­вых точ­ках эле­мен­тар­ных от­рез­ков. В этом случае ап­прок­си­­ми­­руется пло­ща­дь­ю тра­­­­пе­­­ции с ос­но­вани­я­­ми f(х_i) и f(х_i+1) и вы­­со­той x (рис. 3).

Тогда пло­щадь фигу­ры мо­­­29С29т быть опре­де­ле­на из фор­­­му­лы пло­ща­ди пря­­мо­у­голь­ной тра­пе­ции

S_i = (f_i + f_i+1) h_i /2.

Если теперь про­сум­ми­руем по­след­нюю фор­­му­лу по всем эле­мен­тар­ным от­рез­кам, то по­лу­чим с уче­том вы­пол­ненных эле­мен­тарных пре­об­­ра­зо­ваний сле­ду­ю­щее выражение:

Заметим, что при бесконечном умень­шении длин эле­­мен­тарных от­рез­ков формулы обоих типов (пря­мо­­у­голь­ни­ков и трапеций) сходятся к точ­но­му зна­чению ин­­те­гра­ла. Однако не яс­но, как быстро они сходятся ? По­пы­­та­ем­­­ся выяснить дан­ный во­прос, вос­­поль­зо­вав­шись раз­ло­же­ни­­ем фун­к­­­­ции в ряд Тейлора от­но­си­тель­но цен­тра эле­мен­тар­­ного от­резка [х_i, х_i+1]

f(x) = f(y_i) + (x – y_i) f ^’(y_i) + (x – y_i)² f ^’’(y_i)/2 +

+ (x – y_i)³ f^’’’(y_i)/6 + (x-y_i)⁴ f ^(IV)(y_i)/24 + …

затем, проинтегрировав по­лу­чен­ный ряд по каж­до­му из от­резков в пред­­положении, что ос­тав­ши­е­ся чле­ны ря­да на­мно­го меньше вы­­­пи­сан­ных, с учетом значений ко­эф­фи­ци­ен­тов ряда Тейлора на элементарном отрезке

получим

Член показывает ошибку фор­му­лы пря­­мо­угольников без учета членов более вы­со­кого по­ряд­31С. Ес­ли теперь подставим в фор­му­лу тра­пе­ций зна­чения функ­­ции в точках х = х_i и х = х_i+1, то по­лучим

Можно видеть, что ошибки формул сред­них пря­мо­у­голь­ни­­ков и трапеций одного по­ряд­31С, т.е. да­ют поч­ти оди­на­ко­­вую точность.

Формальные параметры процедуры вычисления интеграла методами прямоугольников и трапеций. Входные: Х0, Х1 (тип real) – границы от­рез­31С, на котором вычисляется определенный ин­тег­рал; N (тип integer) – количество уз­лов (элементарных отрезков), на ко­торые разбивается за­данный интервал [a, b]. Вы­ход­ные: FХ (тип real) – массив зна­че­ний функ­ции в заданных узлах (х_i); fint (тип real) – вы­чис­ленные зна­чения интеграла; err (тип real) – по­греш­ность вы­чис­лен­но­го значения.

Метод Симпсона часто называют в литературе ме­то­дом парабол. Очевидно, что точность вы­чис­ле­ний при­бли­жен­ного интеграла возрастет по срав­не­нию с точностью вы­­чис­ле­ний, выполненных по формулами трапеций и пря­мо­­у­голь­ни­­ков, 31С­ли под­ынтегральную функцию f(х) за­ме­нить на от­рез­­­ке [х_i,х_i+1] квадратичной па­ра­бо­лой, которая в уз­­­лах раз­би­ения х_i принимает зна­че­ния f(х_i) и при этом х₀ = =а; f(х₀) = f(а) = y₀; х_n = b; f(х_n) = f(b) = y_n .

Разобьем равномерно отрезок [а, b] на N эле­мен­тарных отрезков [х_i,х_i+1] и на каждом из них заменим под­ын­те­граль­ную функ­цию f(х) интерполяционным мно­гочленом Нью­­то­на (или Лагранжа, в принципе, без раз­ницы!) вто­рой сте­пени. Тогда для каждого эле­мен­тар­­но­го от­резка [х_i,х_i+1] име­ем следующее:

Просуммируем полученное вы­ра­же­ние по всем элементарным от­рез­кам, и если под­ста­вим h = =(b - а) / n, то окончательно получим

(3.4)

Данное выражение называется формулой Сим­сона. Онo от­носится к формулам по­вы­шен­ной точ­нос­ти и яв­ля­ется точ­ной для мно­го­чле­нов второй и третьей сте­пе­ни . По­грешность фор­му­лы Сим­со­на оце­­ни­ва­ет­ся по фор­му­ле Тейлора и име­ет вид

Интегрирование квадратурными формулами Ньютона - Котеса и методом "три восьмых".

Пусть некоторая функция f(х), как и раньше, за­дана в виде таблицы значений y_i = f(х_i) в узлах ин­тер­по­ляции х_i = =х₀ + ih на отрезке [а, b]. Требуется найти значения интеграла на указанном отрезке.

По заданным значениям подынтегральной фун­к­ции y_i = =f(х_i) построим интерполяционный по­ли­ном Ла­гран­жа

,

который для равноотстоящих узлов примет вид

,

где q = (х - х₀) / h.

Теперь заменим подынтегральную функцию f(х) по­стро­енным полиномом, считая, что узлы ин­­тер­поляции рас­положены равномерно:

Проведя необходимые элементарные пре­об­ра­зо­­ва­ния, выполнив замену переменных dq = dx/n и сме­­нив в со­ответствии с подстановкой пределы ин­­те­гри­ро­ва­ния, по­лучим

Здесь h - шаг, который для равноотстоящих уз­лов ин­терполяции определяется как h = (b - а)/n. Под­ставив зна­чения h в последнюю формулу, окон­чательно по­лу­чим

,

где

;

Н_i - коэффициенты Ньютона - Ко­те­са. Они не зависят от зна­чений функции f(х) и яв­ля­ются функциями толь­ко ко­ли­чес­тва узлов, на ко­торые разбит отрезок [а, b]. Поэтому Н_i обыч­­но вычисляют заранее:

N = 1: Н₀ = Н₁ = ¹/₂;

N = 2: Н₀ = Н₂ = ¹/₆; Н₁ = ²/₃;

N = 3: H₀ = H₃ = ¹/₈; H₁ = H₂ = ³/₈;

N = 4: H₀ = H₄ = ⁷/₉₀; H₁ = H₃ = ¹⁶/₄₅; H₂ = ²/₁₃;

N = 5: H₀ = H₅ = ¹⁹/₂₈₈; H₁ = H₄ = ²⁵/₉₆; H₂ = H₃ = ²⁵/₁₄₄.

Этот список при необходимости можно про­дол­жить. Но если теперь рассмотреть частные слу­чаи фор­му­лы Ньютона - Котеса, то:

1. при n = 1 получаем формулу трапеций:

_;

1. при n = 2 получаем формулу Симсона:

_;

2. при n = 3 получаем формулу "трех восьмых":

_.

Погрешность последней формулы оценивается соотношением

R = -(3/80) h⁵ y^(IV)() для всех a, b \ x_i .

Достроим таблицу коэффициентов до n = 7:

N = 6: H₀ = H₆ = ⁴¹/₈₄₀; H₁ = H₅ = ⁹/₃₅;

H₂ = H₄ = ⁹/₂₈₀, Н₅ = ³⁴/₁₀₅;

N = 7: H₀ = H₇ = ⁷⁵¹/₁₇₂₈₀; H₁ = H₆ = ³⁵⁷⁷/₁₇₂₈₀;

H₂ = H₅ = ¹³²³/₁₇₂₈₀; Н₃ = Н₄ = ²⁹⁸⁹/₁₇₂₈₀.

Задание

Написать программу для вычисления интегралов (методы задаются преподавателем).

Варианты

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10.

Требования к программе

1. Программа должна быть написана в среде Visual Studio или Delphi.

2. В программе должно быть предусмотрено следующее:

ввод исходных данных и вывод результата в удобной для пользователя форме;

возможность пошагового просмотра решения задачи;

справка с комментариями по работе с программой;

корректировка исходных данных;

сохранение исходных данных и результата в файле.

Порядок выполнения работы

1. Получить задание у преподавателя.

2. Разработать алгоритм решения задачи.

3. Реализовать полученный алгоритм.

4. Проанализировать результаты работы алгоритма.

5. Оформить отчет по лабораторной работе.

Содержание отчета

1. Номер и тема лабораторной работы.

2. Цель выполнения работы.

3. Описание алгоритма.

4. Руководство пользователю.

5. Пример работы программы.

6. Анализ полученных результатов и вывод по работе.

7. Текст программы с комментариями привести в приложении.

Лабораторная работа № 4