Решение:

Для построения области допустимых решений строим в системе координат соответствующие данным ограничениям-неравенствам граничные прямые:

Строим вектор , координаты которого являются коэффициентами целевой функции.

Перпендикулярно к построенному вектору проводим линию уровня

Областью допустимых решений является фигура .

Перемещаем линию уровня в антиградиентном направлении вектора так, чтобы она касалась области допустимых решений в крайней точке. Решением на минимум является точка , координаты которой находим как точку пересечения прямых (1) и (2).

7.

В цехе имеется 12 станков, на которых необходимо обработать 20 деталей. Известна стоимость обработки каждой из деталей на каждом из станков. Общая стоимость обработки всех деталей должна быть минимальна. К какому классу можно отнести данную задачу? Как ее решать?

Решение:

Данная задача относится к классу транспортных задач.

Станки	Детали					Количество деталей, которые сможет обработать станок
	Затраты на обработку одной детали
Количество обрабатываемых деталей

Матрица:

где обозначает количество деталей вида, обрабатываемых на станке.

Данная задача решается методом потенциалов.

8.

На предприятии необходимо наладить систему снабжения производства сырьем и своевременный запуск партии товаров в производство. Какие задачи при этом необходимо решать? К какому классу их можно отнести. Опишите аналитически в общем виде данную задачу.

Решение:

Это задача линейного программирования.

Опишем аналитически в общем виде данную задачу:

Пусть некоторая производственная единица (цех, завод, объединение и т.д.), исходя из конъюктуры рынка, технических или технологических возможностей и имеющихся ресурсов, может выпускать различных видов продукции (товаров), известных под номерами, обозначаемыми индексами . Ее будем обозначать . Предприятие при производстве этих видов продукции должно ограничиваться имеющимися видами ресурсов, технологий, других производственных факторов (сырья, полуфабрикатов, рабочей силы, оборудования, электроэнергии и т.д.). Все эти виды ограничивающих факторов называют ингредиентами .Пусть их число равно . припишем им индекс . Они ограничены, и их количества равны соответственно условных единиц. Таким образом – вектор ресурсов. Известна экономическая выгода (мера полезности) производства продукции каждого вида, исчисляемая, скажем, по отпускной цене товара, его прибыльности, издержкам производства, степени удовлетворения потребностей и т.д. Пример в качестве такой меры, например, цену реализации , то есть –вектор цен. Известны также технологические коэффициенты , которые указывают, сколько единиц ресурса требуется для производства продукции вида. Матрицу коэффициентов называют технологической и обозначают буквой . Имеем . Обозначим через план производства, показывающий, какие виды товаров нужно производить и в каких количествах, чтобы обеспечить предприятию максимум объема реализации при имеющихся ресурсах.

Так как – цена реализации единицы продукции, цена реализованных единиц будет равна , а общий объем реализации

Это выражение – целевая функция, которую нужно максимизировать.

Так как – расход ресурса на производства единиц продукции, то, просуммировав расход ресурса на выпуск всех видов продукции, получим общий расход этого ресурса, который не должен превосходить единиц:

Чтобы искомый план был реален, наряду с ограничениями на ресурсы нужно наложить условие неотрицательности на объемы выпуска продукции:

Таким образом, модель задачи примет вид.

Найти:

при ограничениях: