7

1.

Если в исходной задаче есть неограниченные по знаку искомые переменные, то оказывает ли это какое-либо влияние на двойственную ей задачу?

Решение:

Да, оказывает влияние.

Двойственная задача со смешанными ограничениями составляется с соблюдением следующих дополнительных правил.

1. Если на переменную прямой задачи наложено условие неотрицательности, то условие системы ограничений двойственной задачи записывается в виде неравенства и наоборот.

2. Если на переменную прямой задачи не наложено условие неотрицательности, то ограничение двойственной задачи записывается в виде строгого равенства.

3. Если в прямой задаче имеются ограничения равенства, то на соответствующие переменные двойственной задачи не налагается условие неотрицательности.

2.

Крупный международный концерн собирается инвестировать средства в свои филиалы. Задача может быть решена в течение ограниченного промежутка времени и средств. Можно ли рассматривать ее как задачу динамического программирования? Приведите постановку задачи. Опишите алгоритм решения задачи динамического программирования.

Решение:

Эту задачу можно рассматривать как задачу динамического программирования.

Постановка задачи:

Пусть на инвестирование в филиалы выделяется некоторый объем материальных ресурсов . Имеется филиалов, между которыми необходимо распределить данный ресурс. Обозначим через прибыль, которую приносит концерну выделение филиалу единиц ресурса. Предполагается, что размер прибыли зависит как от выделенного количества ресурса, так и от филиала. Причем констатируется, что: прибыль, получаемая каждым предприятием, измеряется в одних и тех же единицах, прибыль, получаемая любым из филиалов, не зависит от того, какое количество этого ресурса выделено другим филиалам. Общая прибыль концерна состоит из прибылей отдельного филиала.

Чтобы решать задачу, применим аппарат функциональных уравнений Р. Беллмана. Погружаем ее в семейство подобных задач распределения. Вместо решения одной задачи с заданными объемом ресурса и фиксированным числом предприятий рассмотрим их семейства, в которых объем выделенного ресурса может меняться от нуля до и число предприятий от 1 до N. Статистическая задача распределения при таком подходе приобретет динамический характер. Введем последовательность функций , где – это максимальная прибыль, если бы ресурс был выделен только одному филиалу, – максимальная прибыль, полученная при условии, что ресурс был распределен двум предприятиям и т.д. Пусть наконец – максимальная прибыль, получаемая от распределения ресурса между предприятиями. Очевидно, что

В двух случаях элементы последовательности имеют особенно простой вид:

Пусть ресурс распределяется между двумя предприятиями. Если – объем ресурса, выделенного второму предприятию, то его прибыль составит . Оставшийся ресурс распределяется наилучшим образом. Общая прибыль для двух предприятий составит:

Аналогично рассуждая, найдем рекуррентное соотношение, связывающее и для произвольных значений . В самом деле, пусть – количество ресурса, выделяемое для -го предприятия. Тогда, каково бы ни было значение , согласно принципу оптимальности, оставшийся ресурс распределится между остальными предприятиями наилучшим образом. Так как известно, то

Решение исходной задачи получим при , т.е. из рекуррентного соотношения:

Найдя

определяем . Зная находим , следовательно:

Из выражения:

находим и т.д., т.е. процесс разворачивается в обратном направлении, при котором находятся уже не условно-оптимальные, а оптимальные значения функции цели на каждом этапе и оптимальное выделение ресурса для одного, двух и более предприятий.

3.

Что необходимо предпринять, если при поиске по симплексу оптимума некоторой функции происходит циклическое движение?