2. Связность и компоненты графа

Две вершины графа называют связанными, если между ними существует путь. Любая вершина по определению связана сама с собой.

Неорграф называется связным, если любая пара вершин в нем связана. Орграф называется связным, если соответствующий ему неорграф связен. Орграф называется сильно-связным, если для любой пары несовпадающих вершин v_i и v_j существуют оба маршрута (v_i‑v_j) и (v_j‑v_i).

Бинарное отношение связности в неорграфе (сильной связности в орграфе) является отношением эквивалентности на множестве вершин, поскольку оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. И по теореме о разбиении множества на классы эквивалентности, множество вершин графа можно разбить на такие непересекающиеся подмножества, что в каждом из этих подмножеств вершины будут попарно связаны между собой и не связаны с вершинами никаких других подмножеств. Вершинно-порожденные подграфы каждого из подмножеств в этом разбиении называются компонентами графа (сильными компонентами в орграфе). Таким образом, справедливо следующее утверждение: любой неорграф разбивается единственным образом на попарно непересекающиеся компоненты (или, как говорят, в прямую сумму своих компонент, а орграф – в прямую сумму сильных компонент).

На рисунке 26 изображены два графа: неорграф (слева) связным не является и состоит из четырех компонент – {1,2,3}, {4,5}, {6,7,8} и {9}. Орграф (справа) связен, но не сильно-связен, имеет три сильные компоненты – {1,2,3}, {4} и {5}.

С войства связных графов

1) Связный граф состоит из одной компоненты, а число компонент в несвязном графе всегда больше единицы.

2) Изолированная вершина является компонентой.

3) В связном графе любые два пути максимальной длины имеют общую вершину.

4) Удаление циклического ребра не нарушает связности графа.

Связный граф без циклов называется деревом. Граф, каждая компонента которого является деревом, называется лесом. На рисунке 27 изображен лес, состоящий из двух деревьев.

Теорема: (Оценка числа ребер в простых графах)

Пусть G=(V, E) – простой граф с в вершинами и k компонентами. Тогда число его ребер р удовлетворяет неравенству:

3. Циклический и коциклический ранг графа

Ц икломатическим числом или циклическим рангом графа называется наименьшее число ребер, которое необходимо удалить из графа так, чтобы в нем не осталось ни одного цикла. После такого удаления ребер из связного графа будет получено дерево, называемое остовным деревом или остовом графа (в случае несвязного графа – остовный лес). Заметим, что число вершин в остове совпадает с числом вершин графа. Относительное дополнение остова до исходного графа образует так называемое ко-дерево (ко-лес) для данного остова. Ребра остова называют ветвями, а ребра ко-дерева (ко-леса) – хордами.

На рисунке 28 (а) изображен несвязный граф, а на рисунках (б) и (в) его остовный лес и соответствующий ему ко-лес.

Обозначим цикломатическое число графа (G), число ребер р, число вершин в и число компонент k. Тогда из определения цикломатического числа следует, что р ‑ (G) = в –1 для связного графа и р ‑ (G) = в – k для несвязного графа. Отсюда (G) = р ‑ в+1 для связного и (G) = р ‑ в+k для несвязного графов соответственно. Цикломатическое число характеризует связность графа или, как говорят, является мерой связности. Заметим также, что число хорд в ко-лесе равно (G).

Нетрудно установить, что цикломатическое число дерева равно нулю, а простого цикла – единице.

Число ветвей в остове (в – k) называют коциклическим рангом графа или рангом разреза и обозначают *(G). Заметим, что (G) +*(G)= р.

Разделяющим множеством простого графа называют такое подмножество его ребер, удаление которого увеличивает число компонент графа.

Разрезом (коциклом) в графе называется такое разделяющее множество, никакое собственное подмножество которого не является разделяющим. Таким образом, удаление разреза из графа увеличивает число его компонент в точности на единицу. Если разрез состоит из единственного ребра, то он называется перешейком или мостом.

Для графа на рисунке 29 множества ребер {1,2,5} и {3,4,6,7,8} являются разделяющими множествами. А множества {1,2} и {3,6,7,8} – разрезами.

Следующая теорема устанавливает связь между остовами и разрезами, а также между ко-лесом и циклами в графе.

Теорема: Пусть Т – остовный лес графа G, а K – соответствующий ему ко-лес. Тогда (а) всякий разрез в G имеет общее ребро с Т, и (б) каждый цикл в G имеет общее ребро с K.

Связь между циклами и разрезами устанавливается следующей теоремой.

Теорема: Любой цикл и любой разрез связного графа имеют четное число общих ребер.

том случае, когда С и S имеют четное число общих ребер.

Фундаментальные циклы и разрезы

Пусть Т – остов графа и К – соответствующий ему ко-лес.

Если добавить к Т любую хорду hК, то получим единственный цикл, который называется фундаментальным циклом относительно хорды h. Понятно, что все циклы, получаемые таким способом, т.е. путем добавления к Т различных хорд из К, попарно различны и их число равно числу хорд в К, и равно (G). Множество всех фундаментальных циклов относительно хорд К называется фундаментальной системой циклов относительно остова Т.

Н а рисунке 30 (а) и (б) изображен граф и его остов, а на рисунке 30 (в) – фундаментальная система циклов относительно этого остова.

Если удалить из Т любую ветвь b, то одна из компонент Т разобьется на две новые компоненты, каждая из которых является деревом. Обозначим множества вершин новых компонент V₁ и V₂. Заметим теперь, что хорды из К, соединяющие вершины из V₁ и V₂, в совокупности с ветвью b образуют разрез графа G. Этот разрез называется фундаментальным разрезом относительно ветви b остова Т. Множество всех разрезов, полученных таким способом, т.е. удалением по отдельности каждой ветви из Т, называется фундаментальной системой разрезов относительно остова Т. Очевидно, что все разрезы в этом множестве попарно различны и их число совпадает с числом ветвей в Т и равно (в‑k).

На рисунке 31 изображены фундаментальные разрезы графа, изображенного на рис.30(а), относительно его остова на рис.30(б). Рис. 31(а) – фундаментальный разрез относительно ветви (1,5); рис. 31(б) – ф.р. относительно ветви (2,5); рис. 31(в) – ф.р. относительно ветви (3,5) и рис. 31(г) – ф.р. относительно ветви (4,5).

Важной особенностью фундаментальных циклов (разрезов) является то, что любой цикл (разрез) в графе можно представить в виде кольцевой суммы некоторых фундаментальных циклов (разрезов). В этом смысле они образуют базис подпространства всех циклов (разрезов) графа G.