2.2 Числовые характеристики вариационного ряда

Пусть наблюдается с.в. : - результаты наблюдений (выборка). Признак характеризуется своими числовыми характеристиками: . Обозначим - произвольный неизвестный параметр. Одна из важнейших задач, которую мы сформулировали выше, следующая: как по результатам наблюдений оценить неизвестный параметр .

Обозначим - произвольную оценку параметра . Естественный вопрос: какие требования следует предъявить к оценкам и какую оценку следует выбрать из множества всех оценок. Коль скоро мы определили, что такое оценка, то надо научиться сравнивать разные оценки и научиться отыскивать наилучшие оценки. Представляется довольно очевидным, что поскольку в разных опытах выборки , вообще говоря, различны, то сравнивать надо не по их значениям для отдельных выборок , а по некоторым их суммарным характеристикам. Очевидно, любая оценка как функция от наблюдений является с.в. Рассмотрим две оценки:

Какая оценка лучше? Очевидно та, которая в среднем ближе к . Таким образом, из всех оценок нужно выбирать те, которые в среднем совпадают с оцениваемым параметром . Итак, имеем первое требование к оценкам - несмещенность, т.е. .

К акие еще требования необходимо предъявить к оценкам, чтобы еще более сузить класс оценок.

Снова обратимся к рисунку:

Ясно, что вторая оценка предпочтительнее, т.к. она имеет меньший разброс значений вокруг , а, следовательно, является более точной. Как мы помним, мерой разброса является дисперсия; чем меньше дисперсия, тем точнее в среднем оценка. Поэтому естественно из множества несмещенных оценок выбрать оценку с минимальной дисперсией, т.е. такую оценку , что

где - несмещенная оценка.

Такую оценку будем называть эффективной. Итак, имеем:

Наконец, нетрудно увидеть еще одно естественное требование к оценкам: Если , то (должна!). Такую оценку будем называть состоятельной.

И так:

Итак, найти «хорошую» оценку для неизвестного параметра - это найти несмещенную, эффективную и состоятельную оценку. Как ее найти? Существуют различные методы нахождения, например, метод максимального правдоподобия.

Пример3. Приведем «хорошие» оценки для основных числовых характеристик ГС:

1. - среднее арифметическое;

2. - выборочная дисперсия;

3. - выборочная вариация;

4. - выборочный коэффициент асимметрии;

5. - выборочный коэффициент эксцесса;

Замечание 1. Для простоты вычислений в случае равностоящих () удобно вводить в рассмотрение «ложный» нуль (центр), который расположен приблизительно в середине ряда наблюдений. Тогда вместо исходного вариационного ряда рассматривают вспомогательный, который получается заменой переменных , где - «ложный» нуль, - расстояние между соседними вершинами ряда наблюдений.

Тогда:

,

и, следовательно,

.

Пример 4. Выборка 250, 260, 250, 270, 260, 280, 280, 300, 300, 290, 290, 300, 250, 270, 280.

Вариационный ряд:

;

	250	260	270	280	290	300
	4	2	2	3	2	3

Используем преобразование исходного ряда: , где , . Тогда будем иметь новый вариационный ряд:

	-3	-2	-1	0	1	2
	4	2	2	3	2	3

Следовательно, . И тогда , , .

.

Очевидно, прямой подсчет данных характеристик без рассмотрения вспомогательного вариационного ряда вызвал бы значительно больше затраты вычислительного плана.