9 Вопрос:Некоторые приложения интегрального исчисления:

Интегральное исчисление-раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. И. и. тесно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним одну из основных частей математического анализа (или анализа бесконечно малых). Центральными понятиями И. и. являются понятия определённого интеграла и неопределённого интеграла функций одного действительного переменного.

Приложения интегрального исчисления. Вычисление площадей

F - площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b и y = f(x), где f(x) - непрерывная, положительная функция, выраженная формулой . Приведем два примера применения этой формулы.

Пример 1. Так как уравнение окружности (см. Рис. 1) с центром в начале координат и радиусом R есть x2 + y2 = R2, то уравнение верхней полуокружности имеет вид

Поэтому площадь заштрихованного на чертеже полукруга равна

.

Полагая x = R sin t, приводим этот интеграл к виду. Поэтому площадь всего круга равна πR2.

Пример 2. Рассмотрим площадь фигуры, ограниченной осью Ox и полуволновой синусоиды y = sin x (см. Рис. 2). Очевидно, эта площадь.

Любопытно, что она выразилась без каких бы то ни было иррациональностей.

Рассмотрим теперь площадь F фигуры, содержащейся между линиями x = a, x = b, y = f(x), y = g(x), где f(x) и g(x) - две непрерывные, положительные* функции, заданные на [a, b] и удовлетворяющие неравенству f(x) < g(x) (см. Рис. 3).

Вполне очевидно, что эта площадь выражается формулой -f(x)]dx или , если положить g(x) - f(x) = r(x), формулой(х)d(x). Последняя формула показывает, что форма фигуры никакой роли не играет. Важна лишь длина r(x) отрезка ординаты между линиями y = f(x) и y = g(x). Отсюда следует, что, взяв другую пару функций f1(x) и g1(x), подчиненную условию g1(x) - f1(x) = r(x), мы получим фигуру, равновеликую прежней. Этот результат, установленный еще в XVII в. одним из предшественников Ньютона и Лейбница итальянцем Кавальери, допускает и чисто геометрическую формулировку:Принцип Кавальери. Если две плоские фигуры I и II содержатся между двумя параллельными прямыми p и q (см. Рис. 4) и обладают тем свойством, что в сечении их любой прямой r, параллельной p и q, получаются отрезки одинаковой длины, то эти фигуры имеют одну и ту же площадь.

10 Вопрос:Основные определения теории обыкновенных дифференциальных уравнений, прикладные задачи фармации, биологии, медицины.

Дифференциальные уравнения- уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория Д. у. возникла в конце 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, по существу одновременно с интегральным исчислением и дифференциальным исчислением. Простейшие Д. у. встречались уже в работах И. Ньютона и Г. Лейбница; термин "Д. у." принадлежит Лейбницу

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Уравнения 1-го порядка. Обыкновенным Д. у. 1-го порядка с одной неизвестной функцией называется соотношение F (x, у, у') = 0

между независимой переменной х, искомой функцией у и её производной.

Если уравнение (А) может быть разрешено относительно производной, то получается уравнение вида

y' = f (x, у). (Б)

Многие вопросы теории Д. у. проще рассматривать для таких разрешённых относительно производной уравнений, предполагая функцию f (x, y) однозначной.

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y'(x),y''(x),...,y(n)(x) до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида

или

где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной , штрих означает дифференцирование по . Число называется порядком дифференциального уравнения.

2 часть вопроса:

1.Фармаци́я (греч. φάρμακον через кальку англ. pharmacy — лекарство и применение лекарств) — комплекс научно-практических дисциплин, изучающих проблемы создания, безопасности, исследования, хранения, изготовления, отпуска и маркетинга лекарственных средств, а также поиска природных источников лекарственных субстанций.

В комплексе с фармакологией составляет науку о лекарствах.

Основные разделы фармации

Фармация включает такие разделы, как фармацевтическая химия, технология фармацевтических препаратов и лекарственных форм, судебная химия, фармакогнозия, организация и экономика фармации, военная фармация и др.

К фармацевтическим учреждениям относятся:

научно-исследовательские институты

лаборатории и предприятия, изготовляющие лекарственные средства (фармацевтические заводы)

учреждения, ведающие сбором и обработкой лекарственных растений (заготовительные подразделения и фармфабрики)

аптеки и склады

контрольно-аналитические лаборатории.

Основными задачами медицинской службы являются:

1. поддержание в постоянной боевой и мобилизационной готовности сил и средств медицинской службы;

2. боевая подготовка и повышение профессионального уровня личного состава медицинской службы;

3. военно-медицинская подготовка личного состава войск, пропаганда гигиенических знаний и здорового образа жизни;

4. медицинское обеспечение учебно-боевой подготовки войск;

5. участие в обеспечении санитарно-эпидемиологического благополучия войск;

6. организация и проведение мероприятий по медицинской защите личного состава войск от воздействия неблагоприятных факторов окружающей среды, воинской службы и быта, сохранению и укреплению его здоровья, предупреждению возникновения и распространения заболеваний в войсках;

7. организация и проведение лечебно-профилактических мероприятий среди личного состава войск; оказание медицинской помощи больным, их лечение и медицинская реабилитация;

8. участие в комплектовании ВС РФ здоровым пополнением;

9. взаимодействие с органами управления и учреждениями здравоохранения, медицинской службой других министерств и ведомств.

Вопрос №11

Теоремы сложения и умножения. 1) пусть А и Б - два несовместных события, тогда вероятность их суммы равна сумме вероятностей слагаемых, т.е. Р(А+Б)=Р(А)+Р(Б) 2) пусть А и Б - два совместных события, тогда вероятность их суммы равна сумме вероятностей слагаемых без вероятности произведения, т.е. Р(А+Б)=Р(А)+Р(Б)-Р(АБ) Теоремы умножения: 3) пусть А и Б - два независимых события, тогда вероятность их произведения равна произведению вероятностей сомножителей, т.е. Р(АБ)=Р(А)Р(Б) 4) пусть А и Б - два зависимых события, тогда вероятность их произведения равна произведению вероятностей первого множителя на вероятность второго, вычисленную в предположении, что первое событие произошло (или вероятности второго множителя на вероятность первого, вычисленную в предположении, что второе событие произошло), т.е. Р(АБ)=Р(А)Р(Б/А)=Р(Б)Р(А/Б)

Если событие может наступить только при появлении одного из несовместных событий (гипотез) , то вероятность события вычисляется по формуле полной вероятности: , где - вероятность гипотезы , - условная вероятность события при выполнении гипотезы ( .

С формулой полной вероятности тесно связана формула Байеса. Если до опыта вероятности гипотез были , , ..., , а в результате опыта появилось событие , то с учетом этого события "новые", т.е. условные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса

Формула Байеса дает возможность "пересмотреть" вероятность гипотез с учетом наблюдавшегося результата опыта. Условная вероятность может находиться как отношение веса ветви, проходящей через вершину, соответствующую гипотезе , к весу всего вероятностного го

Теория вероятности – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Теория вероятности изучает случайные события и случайные величины.

Случайное событие – это любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти.

Испытание (опыт, эксперимент) в этом определении понимается, как выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат. Испытание может проводиться человеком, но может осуществляться и независимо от человека. Человек в этом случае выступает в роли наблюдателя.

Событие обозначается прописными (заглавными) буквами латинского алфавита A,B,C.

1. Достоверное событие – если в результате испытания оно обязательно должно произойти.

2. Невозможное событие – если в результате испытания оно вообще не может произойти.

События называются несовместными, если наступление одного из них исключает появление другого. В противном случае события – совместные.

Противоположные события – два события А и А1 называются противоположными, если непоявление одного из них в результате данного испытания влечёт появление другого.

Вопрос №12

ЗАКОН ГАУССА, общий ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ ПОТОК над замкнутой поверхностью равен ЭЛЕКТРИЧЕСКОМУ ЗАРЯДУ внутри этой поверхности, разделенному на ДИЭЛЕКТРИЧЕСКУЮ ПРОНИЦАЕМОСТЬ среды

Применение?

Вопрос №13

Генеральная совокупность- это множество всех мыслимых значений наблюдений ( объектов), однородных относительно некоторого признака ,которые могли быть сделаны. Число всех наблюдений , составляющих генеральную совокупность, называется её объемом N.

Выборка- это совокупность случайно отобранных наблюдений( объектов). Объем выборки n.

Выборка обязательно должна удовлетворять условию репрезентативности, т.е. давать обоснованное представление о генеральной совокупности. Каждый элемент выборки Xi называется вариантой. Число наблюдений варианты ni называется частотой встречаемости. Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом.

Статистическое распределение – это совокупность вариант Xi и соответствующих им частот ni.

Вопрос №14

Точечная оценка – это оценка, которая определяется одним числом. И это число определяется по выборке. Это функция результатов выборки.

Качество оценки устанавливается по трём свойствам: быть состоятельной, эффективной и несмещенной.

Точечная оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборки выборочная характеристика стремится к соответствующей характеристике генеральной совокупности.

Точечная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию выборочного распределения по сравнению с другими аналогичными оценками.

Точечную оценку называют несмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Интервальная оценка – это числовой интервал, который определяется двумя числами - границами интервала, содержащий неизвестный параметр генеральной совокупности.

Доверительный интервал – это интервал, в котором с той или иной заранее заданной вероятностью находится неизвестный параметр генеральной совокупности.

Доверительная вероятность p – это такая вероятность, что событие вероятности 1-p можно считать невозможным. Альфа=1-p – это уровень значимости. (обозначения могут быть любыми, часто обозначают наоборот). Обычно в качестве доверительных вероятностей используют вероятности, близкие к 1. Тогда событие, что интервал накроет характеристику, будет практически достоверным. Это p> или = 0,95, p> или = 0,99, p> или = 0,999.Эти вероятности признаны достаточными для уверенного суждения о генеральных параметрах на основании известных выборочных показателей.

Вопрос №15

Статистическая гипотеза – это любое предположение о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Статистическая гипотеза – это всякое высказывание о генеральной совокупности, проверяемое по выборке.

Гипотезы будем обозначать буквой H с индексом. Будем предполагать, что у нас имеется 2 непересекающихся гипотезы H0 b H1. H0 – нулевая гипотеза ( или основная). H1 – альтернативная или конкурирующая гипотеза.

Задача проверки статистических гипотез состоит в том, чтоб на основе выборки X1, X2, X3, … Xn принять (т.е. считать справедливой) либо нулевую гипотезу H0, либо конкурирующую гипотезу H1.

Для проверки принятой гипотезы используют статистический критерий – это правило , позволяющее, основываясь только на выборке x1, x2,x3,….,xn,принять либо отвергнуть нулевую гипотезу H0. Различают два вида критериев: параметрические и непараметрические.

Параметрические критерии представляют собой функции параметров данной совокупности и используются, если совокупности , из которых взяты выборки, подчиняются нормальному закону распределения.

Непараметрические критерии применяются, если нет подчинения нормальному закону.

Вопрос №16. Понятие функциональной зависимости

Будем говорить, что между двумя признаками X и Y существует функциональная зависимость (взаимосвязь), при которой каждому значению одного из них соответствует одно или несколько строго определенных значений другого.

Например, в функции у = 2 * х каждому значению х соответствует в два раза большее значение у . В функции  каждому значению усоответствует 2 определенных значения х . Графически это выглядит так (рис. 6, 7 соответственно): Понятие корреляционной зависимости и ее направленности

Будем говорить, что между двумя признаками Х и У существует корреляционная зависимость (взаимосвязь), при которой с изменением одного признака изменяется и другой, но каждому значению признака Х могут соответствовать разные, заранее непредсказуемые значения признака У, и наоборот.

Для различия направленности влияния одного признака на другой введены понятия положительной и отрицательной связи.

Если с увеличением (уменьшением) одного признака в основном увеличиваются (уменьшаются) значения другого, то такая корреляционная связь называется прямой или положительной.

Если с увеличением (уменьшением) одного признака в основном уменьшаются (увеличиваются) значения другого, то такая корреляционная связь называется обратной или отрицательной.

Вопрос №17. Регрессио́нный (линейный) анализ — статистический метод исследования зависимости между зависимой переменной Y и одной или несколькими независимыми переменными X₁,X₂,...,X_p. Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные — критериальными. Терминология зависимыхи независимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных (см. Ложная корреляция), а не причинно-следственные отношения.

Цели регрессионного анализа

1. Определение степени детерминированности вариации критериальной (зависимой) переменной предикторами (независимыми переменными)

2. Предсказание значения зависимой переменной с помощью независимой(-ых)

3. Определение вклада отдельных независимых переменных в вариацию зависимой

Регрессионный анализ нельзя использовать для определения наличия связи между переменными, поскольку наличие такой связи и есть предпосылка для применения анализа.

[править]Математическое определение регрессии

Строго регрессионную зависимость можно определить следующим образом. Пусть Y, X₁,X₂,...,X_p — случайные величины с заданным совместным распределением вероятностей. Если для каждого набора значений X₁ = x₁,X₂ = x₂,...,X_p = x_p определено условное математическое ожидание

y(x₁,x₂,...,x_p) = E(Y | X₁ = x₁,X₂ = x₂,...,X_p = x_p) (уравнение линейной регрессии в общем виде),

то функция y(x₁,x₂,...,x_p) называется регрессией величины Y по величинам X₁,X₂,...,X_p, а её график — линией регрессии Y по X₁,X₂,...,X_p, или уравнением регрессии.

Зависимость Y от X₁,X₂,...,X_p проявляется в изменении средних значений Y при изменении X₁,X₂,...,X_p. Хотя при каждом фиксированном наборе значений X₁ = x₁,X₂ = x₂,...,X_p = x_pвеличина Y остаётся случайной величиной с определённым рассеянием.

Для выяснения вопроса, насколько точно регрессионный анализ оценивает изменение Y при изменении X₁,X₂,...,X_p, используется средняя величина дисперсии Y при разных наборах значений X₁,X₂,...,X_p (фактически речь идет о мере рассеяния зависимой переменной вокруг линии регрессии).

[править]Метод наименьших квадратов (расчёт коэффициентов)

На практике линия регрессии чаще всего ищется в виде линейной функции Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + ... + b_NX_N (линейная регрессия), наилучшим образом приближающей искомую кривую. Делается это с помощью метода наименьших квадратов, когда минимизируется сумма квадратов отклонений реально наблюдаемых Y от их оценок  (имеются в виду оценки с помощью прямой линии, претендующей на то, чтобы представлять искомую регрессионную зависимость):

(M — объём выборки). Этот подход основан на том известном факте, что фигурирующая в приведённом выражении сумма принимает минимальное значение именно для того случая, когда Y = y(x₁,x₂,...x_N).

Для решения задачи регрессионного анализа методом наименьших квадратов вводится понятие функции невязки:

Условие минимума функции невязки:

Полученная система является системой N + 1 линейных уравнений с N + 1 неизвестными b₀...b_N

Если представить свободные члены левой части уравнений матрицей

а коэффициенты при неизвестных в правой части матрицей

то получаем матричное уравнение: , которое легко решается методом Гаусса. Полученная матрица будет матрицей, содержащей коэффициенты уравнения линии регрессии:

Для получения наилучших оценок необходимо выполнение предпосылок МНК (условий Гаусса−Маркова). В англоязычной литературе такие оценки называются BLUE (Best Linear Unbiased Estimators) − наилучшие линейные несмещенные оценки.

[править]Интерпретация параметров регрессии

Параметры b_i являются частными коэффициентами корреляции; (b_i)² интерпретируется как доля дисперсии Y, объяснённая X_i, при закреплении влияния остальных предикторов, то есть измеряет индивидуальный вклад X_i в объяснение Y. В случае коррелирующих предикторов возникает проблема неопределённости в оценках, которые становятся зависимыми от порядка включения предикторов в модель. В таких случаях необходимо применение методов анализа корреляционного и пошагового регрессионного анализа.

Говоря о нелинейных моделях регрессионного анализа, важно обращать внимание на то, идет ли речь о нелинейности по независимым переменным (с формальной точки зрения легко сводящейся к линейной регрессии), или о нелинейности по оцениваемым параметрам (вызывающей серьёзные вычислительные трудности). При нелинейности первого вида с содержательной точки зрения важно выделять появление в модели членов вида X₁X₂, X₁X₂X₃, свидетельствующее о наличии взаимодействий между признаками X₁, X₂ и т. д.

Вопрос №18. Смещение молекул в движущих слоях жидкости сопровождается действием сил сопротивления (Внутреннее трение). Оно характеризуется вязкостью h. Вязкость обусловлена межмолекулярным воздействием и зависит от природы жидкости и температуры. В жидких телах смещение молекул под действием внешних сил относительно друг друга происходит легко, поэтому упругих сил при сдвиге не возникает – текучесть. Ньютон установил, что сила внутреннего трения тем больше, чем больше площадь соприкосновения слоев и зависит от изменения скорости течения жидкости при переходе от слоя к слою.

F_тр=nS

h - коэффициент внутреннего трения, вязкость.

dV/dX – градиент скорости – изменение скорости, отнесенное к расстоянию между слоями в направлении, перпендикулярном скорости.

S – площадь соприкосновения слоев.

Ньютоновские жидкости – если вязкость в силе трения зависит только от природы жидкости и температуры (вода, НМС, плазма крови, лимфа, бензол, Этиловый спирт).

Неньютоновские жидкости – если вязкость в силе трения зависит и от природы, температуры и от режима течения жидкости (эмульсии, суспензии, ВМС, кровь, протоплазма). h¹const.

Пуазейль установил, что средняя скорость (υ_ср) ламинарного течения жидкости по круглой трубе постоянного сечения прямо пропорционально градиету давления:

P₁- P₂

l , квадрату радиуса трубы (r ²) и обратно пропорционально вязкости жидкости ( η );

υ_ср.= P₁ – P ₂ r ² , где

l 8η

P₁ и P ₂ – давления в начале и конце трубы , длиной l . υ _сред. Течения жидкости определяет кол-во жидкости, протекающей через поперечное сечение S в ед-цу времени:

Q = υ_ср. S, S = πr²

Формула Пуазейля

Q= P₁ – P ₂ π r ⁴ или Q= P₁ – P ₂ , где

l 8η ω

ω=8lη/πr⁴ – гидравлическое сопротивление возрастает с уменьшением радиуса трубы.

Падение давления Δ P= P₁-P₂ вдоль отдельной трубы, определяемое формулой Пуазейля; затем в виде P₁-P₂ =Qω, ω- гидравлическ.сопрот-е., т.е. при фиксированном объеме Q протекающей жидкости ΔP зависит от ω. В кровеносной системе падение давления вдоль кроветока зависит от гидравлического сопротивления разветвления, которое нах –ся по формулам для послед – го и парал.-го соед.-ний;

ω = ω₁+ ω₂+… +ω_n – посл.соед.-е.

ω= ( 1 +1 +…1 ) –1 - парал. соед.-е.

ω₁ ω₂ ω_n

Здесь проведена аналогия с законом Ома: 1) гидравлическое сопротивление ω =электрич. сопротив-е. R. 2) разность давлений ΔР= разность потенциалов. 3) Q = сила тока J.

З.Ома: J(ампер или кулон/с) = ΔU /R ф.Пуазейля: Q(м³/с)=ΔP/ω

Вопрос №19. Закон Бернулли: в различных точках линии тока идеальной жидкости сумма статического, динамического и гидростатического давлений одинакова:

Формула: P+ρυ²/2+ρgh=const

• Статическое давление –P возникает от работы сердца, не связано с движением жидкости.

• Динамическое (скоростное) давление ρυ²/2 связано с кинетической энергией потока жидкости, проявляется при торможении жидкости.

Формула P+ρυ²/2=P_n ( полное давление)

- Гидростатическое давление - ρgh связано с потенциальной энергией и перепадом высот.

Статическое и гидростатическое давление по своему действию одинаковы, но гидростатическое давление распред. объема жидкости (130 мм.рт.ст. = Р_гол. – Р_{ниж.кон}. при росте =180 см. стоя). В невесомости это давление отсутствует.

Вопрос №20. Турбулентное течение – вихревое. Возникает при увеличении v течения вязкой жидкости вследствие неоднородности давления по поперечн. сечению трубы. При турб. течении υ частиц в каждом месте беспрерывно и хаотически меняется.

Число Рейнольдса крит. =2300.

• При Re < Re крит. (2300) => течение ламинарное.

• При Re > Re крит. => турбулентное течение.

Re = r u d /η Re = ud /ν , где

• r - плотность жидкости

• u – скорость течения

• d – диаметр трубы

• h- вязкость жидкости. Измеряется в СИ – ( М²\с), в СГС ( стокс).

υ крит.= Re *(ν/ r)

- ν - кинематическая вязк. жидкости , r – радиус сосуда, Re - зависит от природы: Н₂О – 2300; кровь – 1000.

Течение крови в артериях в норме является ламинарным, небольшая турбулентность возникает вблизи клапанов. При патологии, когда вязкость крови меньше нормы, Re > Re крит. 1000 => движение турбулентное.

Турбулентное течение связано с дополнительной работой сердца à шум, возникающий при турбулентном течении крови à диагностика заболеваний.

Причины перехода ламинарного течения крови в турбулентное:

• отложение холестерина на стенках сосуда (шум на дуге аорты)

• врожденное отверстие в межжелудочковой перегородке (шумы в плеч.аорте).

• множественные раветвления.