Вопрос №1

Существует всего пять типов элементарных функций:

1. Степенные:

• Линейная функция y = kx + b.

• Квадратичная (график – парабола)

• Нечётные степенные ф-ции (y=x³, y=x⁵, y=x⁷…)

• Чётные степенные ф-ции (y=x², y=x⁴, y=x⁸…)

• Гипербола (y=1/x)

2.Показательные (y=a^x) a>0 (a не равно 1)

3.Логарифмические (y=log_ax)

4. Тригонометрические

5. Обратные тригонометрические.

6. Многочлен

Это функция вида , где , 

Чётные многочлены (n-чётное число):

Нечётные многочлены (n-нечётное число):

http://studrus.ru/stud39/ris/image115.pngC:\Documents and Settings\Admin\Мои документы\Downloads\fun9o.gif

Вопрос №2

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке

Теоремы о пределах.

Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.

Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.

Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).

Теорема. 4. Если u(x)  z(x)  v(x), и lim_x a u(x)=lim_x a v(x)=b, то lim_x a z(x)=b. ("Теорема о двух милиционерах").

Вопрос №3

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. 

Если существует , то этот предел называется производной функции y=f(x)

y ^' = =

Геометрический смысл производной:

Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Физический смысл производной:

риведем несколько примеров.

• Среднее ускорение материальной точки выражается формулой a=tv(t+t)−v(t)

Мгновенное ускорение точки равно a=limt0tv(t+t)−v(t)=dtdv=v 

• Сила и импульс по второму закону Ньютона связаны соотношением F=dtdp=p.

• Количество заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника, определяет силу тока: I=dtdq=q.

• В электростатическом поле, изменяющемся только по оси OX, напряженность и потенциал связаны соотношениемE=−dxd=−.

Вопрос №4

Правила дифференцирования

 

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';

2) (u+v)' = u'+v';

3) (uv)' = u'v+v'u;

4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v^2;

5) если y = f(u), u = (x), т.е. y = f((x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций  и f, то , или

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

1. (u^)' =  u^1 u' ( принадлежит R¹ )

2. (a^u)' = a^u lna u'.

3. (e^u)' = e^u u'.

4. (log_a u)' = u'/(u ln a).

5. (ln u)' = u'/u.

6. (sin u)' = cos u u'.

7. (cos u)' = - sin u u'.

8. (tg u)' = 1/ cos²u u'.

9. (ctg u)' = - u' / sin²u.

10. (arcsin u)' = u' /.

11. (arccos u)' = - u' /.

12. (arctg u)' = u'/(1 + u²).

13. (arcctg u)' = - u'/(1 + u²).

Вопрос №5 Правило дифференцирования сложной функции

Сложная функция (композиция функций, суперпозиция функций) обозначается  

Производная композиции равна:

Если необходимо взять производную от композиции трех и более функций, то последовательно применяем указанное выше правило. Например,

Пример 1

Найти производную функции . Решение. Поскольку , то по правилу производной сложной функции получаем

Пример 2

Найти производную функции . Решение. Здесь мы имеем дело с композицией трех функций. Производная тангенса равна . Тогда

6 Вопрос: Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла, свойства.

Первообразная

Первообра́зной или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Так, например, функция является первообразной . Так как производная константы равна нулю, будет иметь бесконечное количество первообразных; таких как или … и т. д.; таким образом семейство первообразных функции x2 можно обозначить как F(x) = x3 / 3 + C, где C — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга , и их положение зависит от значения C.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют неопределённым интегралом (общим интегралом) f и записывают в виде интеграла без указания пределов:

Если F — первообразная f , и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.

Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, одна из которых представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:

Также существуют разрывные функции, которые имеют первообразную. Например, с f(0) = 0 не непрерывна при x = 0, но имеет первообразную с F(0) = 0.

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

Свойства первообразной:

1.Первообразная суммы равна сумме первообразных

2.Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции

3.Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции f является непрерывность f на этом отрезке

4.Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции f первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу

5.У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

Выражение называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной):

1.

1.Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

2.

2.Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

3. , где k – произвольная константа.

3. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4. Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

4.

Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь: первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно; второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.

Таблица первообразных: