2.8. Двойственность в линейном программировании Прямая и двойственная задача.

Каждой ЗЛП можно определенным образом сопоставить некоторую другую задачу (линейного программирования), называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой. Дадим определение двлйственной задачи по отношению к общей ЗЛП, состоящей в нахождении максимального значения функции

Z=C₁x₁+C₂x₂+...+C_nx_n (2.67)

при условиях

, (2.68)

x_j0 (2.69)

О п р е д е л е н и е 1. Задача, состоящая в нахождении минимального значения функции

Z^*=b₁y₁+b₂y₂+...+b_ny_n (2.70)

при условиях

(2.71)

y_i 0 (2.72)

называется двойственной по отношению к задаче (2.67)—(2.69).

Задачи (2.67)—(2.69) и (2.70)—(2.72) образуют пару задач, называемую двойственной парой.

Двойственная задача по отношению к исходной составляется согласно следующим правилам:

1. Целевая функция исходной задачи (2.67)—(2.69) задается на максимум, а целевая функция двойственной (2.70)—(2.72) — на минимум.

2. Матрица

,

составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений (2.68) исходной задачи, и аналогичная матрица

в двойственной задаче получаются друг из друга транспонированием.

3. Число переменных в двойственной задаче равно числу соотношений в системе (2.70) исходной задачи, а число ограничений в системе (2.71) двойственной задачи— числу переменных в исходной задаче.

4. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции (2.70) двойственной задачи являются свободные члены в системе (2.68) исходной задачи, а правыми частями в соотношениях системы (2.71) двойственной задачи — коэффициенты при неизвестных в целевой функции (2.67) исходной задачи.

5. Если переменная х_j исходной задачи может принимать только лишь положительные значения, то j-е условие в системе (2.71) двойственной задачи является неравенством вида «». Если же переменная х_j может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то j -е соотношение в системе (2.71) представляет собой уравнение. Аналогичные связи имеют место между ограничениями (2.68) исходной задачи и переменными двойственной задачи. Если i-е соотношение в системе (2.68) исходной задачи является неравенством, то i-я переменная двойственной задачи y_i 0. В противоположном случае переменная y_i может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Связь между решениями прямой и двойственной задач.

Рассмотрим пару двойственных задач, образованную основной задачей линейного программирования и двойственной к ней.

Исходная задача: найти максимум функции

(2.73)

при условиях

(2.74)

. (2.75)

Двойственная задача: найти минимум функции

(2.76)

при условиях

(2.77)

Каждая из задач двойственной пары (2.73)—(2.75) и (2.76),(2.77) фактически является самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо одна от другой. Однако при определении симплексным методом оптимального плана одной из задач тем самым находится решение и другой задачи.

Существующие зависимости между решениями прямой и двойственной задач характеризуются сформулированными ниже леммами и теоремами двойственности.

Л е м м а 1. Если Х — некоторый план исходной задачи (2.73)—(2.75), а Y— произвольный план двойственной задачи (2.76),(2.77), то значение целевой функции исходной задачи при плане Х всегда не превосходит значения целевой функции двойственной задачиприплане Y, т.е. Z(X)Z^*(Y).

Л е м м а 2. Если Z(X^*)=Z^*(Y^*)для некоторых планов X^* и Y^* задач (2.73)—(2.75) и (2.76),(2.77), то Х^* — оптимальный план исходной задачи, а Y^* — оптимальный план двойственной задачи.

Т е о р е м а 1. (первая теорема двойственности). Если одна из пары двойственных задач (2.73)—(2.75) или (2.76),(2.77) имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план и значения целевых функций задач при их оптимальных планах равны между собой т.е. Z_max=Z*_min..

Если же целевая функция одной из пары двойственных задач не ограничена [для исходной сверху, для двойственной снизу], то другая задача вообще не имеет планов.

Т е о р е м а 2. (вторая теорема двойственности). План Х^*=(х^*₁, х^*₂, ..., х^*_n) задачи (2.73)—(2.75) и план Y^*=(y^*₁,y^*₂,...,y^*_m) задачи (2.76),(2.77) являются оптимальными планами этих задач тогда и только тогда, когда для любого j выполняется равенство

.