Корреляционная функция

Для изучения вопроса о тенденции сигнала к сохранению может использоваться корреляция.

Для определения наличия линейной статистической связи между парами значений рассчитывают коэффициент корреляции. Чем теснее линейная зависимость, тем больше модуль коэффициента корреляции, тем с большей вероятностью на основе значения функции можно прогнозировать значение функции в любой момент времени

Рассматриваемый отрезок времени это независимая переменная, таким образом, коэффициент корреляции является переменной . В данном случае имеет место так называемая автокорреляционная функция.

В отличие от коэффициента корреляции дискретных пар значений, автокорреляционная функция в общем случае относится к непрерывному сигналу и часто не нормируется.

Как и при расчете среднего значения и дисперсии сумма дискретных значений заменяется интегралом

Можно ожидать, что в общем случае для больших сдвигов времени тенденция к сохранению сигнала становится меньше. это максимум функции и справедливо неравенство:

Автокорреляционная функция является четной относительно .

а)стохастический сигнал

б) автокорреляционная функция

Виды сигналов:

а) малый сигнал с малой тенденцией к изменению, зависимость от крутая и быстро выходит к.

б) сигнал с большой тенденцией к изменению. Низкочастотная функция.

в) периодический сигнал, при этом автокорреляционная функция также становится периодической.

г) Есть периодическая составляющая и на нее наложена стохастическая составляющая.

Автокорреляционная функция: при малых –вид как у стохастического сигнала, а далее-периодическая. (Если сигнал содержит стохастическую и периодическую составляющую, то при больших - вид как у периодической функции).

Корреляция отображает эффект фильтрации, что может быть использовано в измерительной технике.

Частотные характеристики периодического измерительного сигнала

Математическое описание и обработка гармонического сигнала осуществляется достаточно просто. Поэтому периодический сигнал часто представляют в виде ряда Фурье, т.е. разлагают его на гармонические составляющие (любой периодический сигнал может быть представлен в виде гармоник). Для таких сигналов составлены таблица соответствующих рядов Фурье. Сумма синусоидальных и косинусоидальных сигналов.

, где -круговая частота основной гармонической составляющей. Далее идет набор синусоид и косинусоид с частотой .

-амплитуда. ,.

Вся информация x(t) заключена в амплитудах a_n и b_n, как функция дискретных частот . Можно по-разному представлять сигнал:

а) во временной плоскости

б) в виде двух амплитудных спектров в частотной плоскости.

в) в виде амплитудно-фазового спектра в частотной плоскости.

Частотные характеристики стохастического измерительного сигнала.

Автокорреляционная функция описывает временные параметры стохастического сигнала. Если преобразовать эту функцию по Фурье, можно получить адекватное стохастическое описание сигнала. Преобразование по Фурье автокорреляционной функции называется спектральной плотностью сигнала и обозначается:

Так как представляет собой четную функцию, то всегда является четной и действительной функцией от W. Поэтому это выражение можно записать

Примеры:

1)

2)

3)

Спектральная плотность функции может быть интерпретирована как плотность мощности сигнала, распределенная по частотам.