1)Возникновение Аксиоматики. Классическая современная структура математики.

- Впервые термин «аксиома» встречается у Аристотеля (4 век до н. э.), имел значение «истина, очевидная сама по себе». Окончательный свод мат. Аргументов в «началах Евклида». Аксиомы являются своего рода «точками отсчёта» (фактами) для построения любой науки, при этом сами они не доказываются, а выводятся непосредственно из опытов. Аксиоматическая теория математической структуры - из каждой аксиомы можно вывести следствия, отказавшись от каких-либо других предположений относительно самих рассматриваемых элементов, и, в частности, от всяких гипотез, на основе которых можно будет вывести другие аксиомы.

2) Понятия и формализация высказываний. Основные логические операции над высказываниями.

Высказывание - повествовательное предложение, которое формализует некоторое выражение мысли. Это утверждение, которому всегда можно поставить в соответствие одно из двух логических значений: ложь или истина. Логические высказывания разделяют на два вида: элементарные и составные логические. Примеры: «Петров — врач», — элементарное логические высказывания. «Петров — врач и шахматист» — составное логическое высказывание, состоящие из двух элементарных высказываний, связанных между собой при помощи связки «и».

Отрицание, Конъюнкция , Дизъюнкция, Импликация, Равносильность (эквивалентность), высказывание с квантором существования, с квантором всеобщности.

3)Пропозициональные связки. Синтаксис и семантика логики высказываний.

Пропозициональная связка- операция, позволяющая из данных суждений(высказываний) строить новые суждения (высказывания). «&», «v», «->», «=», «~» Пропозициональные символы являются высказываниями и называются атомарными высказываниями или атомами. A - логическая формулы, НЕ (А)- тоже формула. Эти формулы определяются на семантическом уровне при помощи таблиц истинности. Формула, принимающая значение И при всех значениях пропозициональных переменных называется тавтологией (или общезначимой), а формула, принимающая значение Л при всех значениях пропозициональных переменных называется противоречием (или невыполнимой).

4) Основные законы логики высказываний.

Логика высказываний является простейшей логикой, максимально близкой к человеческой логике неформальных рассуждений.

Законы де Моргана:

Закон контрапозиции:

Законы поглощения:

Законы дистрибутивности:

Доказать законы логики можно:

1) с помощью таблиц истинности;

2) с помощью равносильностей.

5) Тождественная истинность и тождественная ложность формул.

Тождественно истинные формулы (тавтологии). Формула является тождественно истинной, если она истинна при любых значениях входящих в неё переменных. Например Законы де Моргана: …

Тождественно-ложные формулы являются ложными при всех наборах истинностных значений входящих в них переменных, представляют собой отрицание тождественно-истинных формул и являются нарушением логических законов.

6) Понятия и основы равносильности логики высказываний.

Базовыми понятиями логики высказываний являются пропозициональная переменная — переменная, значением которой может быть логическое высказывание, — и (пропозициональная) формула, определяемая индуктивно следующим образом:

1)Если P — пропозициональная переменная, то P — формула.

2)Если A — формула, то — формула.

3)Если A и B — формулы, то , и — формулы.

Знаки и (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и импликация) называются пропозициональными связками. Подформулой называется часть формулы, сама являющаяся формулой. Собственной подформулой называется подформула, не совпадающая со всей формулой.

Формула F1 равносильна формуле F2, если при любых наборах входящих в них переменных формулы принимают одинаковые значение истинности. Формула F1 равносильна формуле F2 , если их эквиваленция есть тавтология, или , если - тавтология.