1. Критерий Гурвица [5]

Исторически этот критерий появился первым (1875 - Раус, 1895 - Гурвиц). Задача состояла в том, чтобы, не вычисляя корни характеристического уравнения, что при отсутствии вычислительной техники и при высокой степени уравнения сложно, найти условия устойчивости характеристического многочлена.

Приводится без доказательства.

Из коэффициентов многочлена составим квадратную матрице размера nn (так называемую матрицу Гурвица [3]), по следующему правилу

По диагонали выписываются коэффициенты характеристического уравнения, начиная с a₁. Строки матрицы заполняются коэффициентами: влево от диагонали записываются коэффициенты с возрастающими индексами, а справа - с убывающими. Остальные элементы матрицы - нули.

Ниже представлена матрица для n=6 (a₀>0):

В первой строке слева места нет, а с меньшим индексом всего один коэффициент a₀. В последней строке коэффициентов с возрастающими индексами нет, а для коэффициентов с убывающими индексами справа нет места.

В литературе встречается и правило составления транспонированной матрицы [1].

Из матрицы образуют так называемые определители Гурвица - главные диагональные миноры матрицы:

Формулировка критерия:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы a₀>0 и определители Гурвица были положительными.

Заметим, что при вычислении каждого последующего определителя используются уже вычисленные значения предыдущих определителей. Это сокращает объем вычислений.

Пример.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы

.

Передаточная функция замкнутой системы:

Тогда дифференциальное уравнение свободного движения системы после ее замыкания

.

Следовательно, a₀=T₁T₂; a₁= (T₁+T₂); a₂=1; a₃=K.

Матрица Гурвица системы третьего порядка:

Условие a₀>0 выполняется и, следовательно, ₁= T₁+T₂>0. Условие

₂= T₁+T₂-KT₁T₂>0 равносильно условию .

Третий определитель ₃=K₂, что равносильно условию K>0. Таким образом, усиление системы должно лежать в пределах (рис. 1)

0< .

При K<0 в обратная связь положительная, а при K>K_max теряется устойчивость. На рис.1 изображены переходные процессы в системе при различных коэффициентах усиления системы.

Недостатки критерия:

- в случае неустойчивости системы критерий не дает ответа на то, как нужно изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой;

- в случае устойчивой системы критерий не дает информации о качестве регулирования и о запасах устойчивости.

В силу этих обстоятельств в инженерной практике чаще используются более удобные с этой точки зрения критерии.

2. Критерий Михайлова

Характеристическое уравнение имеет n корней, которые могут быть действительными, мнимыми и комплексными. Некоторые из n корней могут оказаться равными между собой (кратными). Комплексные корни всегда попарно сопряженные, при нечетном n имеется хотя бы один действительный корень [6].

Как уже отмечалось, для того чтобы система была устойчивой необходимо, чтобы действительные части всех корней были отрицательными, то есть, чтобы все корни характеристического уравнения лежали левее мнимой оси плоскости комплексного переменного .

D() - характеристический многочлен линейной системы n-ного порядка с положительными коэффициентами. Произведя подстановку =j, получим

D(j)=X()+jY(),

X() - четная функция , Y() - нечетная функция .

Формулировка критерия устойчивости Михайлова [1]:

Для устойчивости линейной системы n-ного порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента функции D(j) при изменении  от 0 до  равнялось бы n/2, то есть

.

Доказательство [5].

Пусть _i (i =1, 2, .., n) - корни уравнения D(j)=0. Тогда можно записать

D(j)=a₀(j-₁)(j-₂).. (j-_n),

D(j)=a₀j-₁j-₂ … j-_n,

.

Покажем, что при изменении  от =0 до = каждый отрицательный действительный корень дает приращение аргумента +/2, а каждая пара комплексных корней - приращение аргумента +.

Напомним, что разность двух векторов - это вектор, соединяющий их концы, направленный к уменьшаемому вектору.

На рис.2a действительный корень ₁ =₁, причем ₁<0. При возрастании  от нуля до бесконечности аргумент разности векторов j-₁ (угол ₁ ) изменяется от нуля (при =0) до +/2 (положительное направление отсчета углов - против часовой стрелки). На рис.2b корень ₂=₂ причем ₂>0. При возрастании  от нуля до бесконечности аргумент разности векторов j-₂ изменяется от нуля (при =0) до минус /2.

На рис.3 представлен случай, когда два сопряженных корня имеют отрицательные действительные части.

При =0 углы поворота векторов и равны - и +, соответственно. При  угол поворота вектора составит /2+, а угол поворота вектора /2-, таким образом, суммарное изменение аргумента, вносимое двумя комплексно сопряженными корнями, расположенными в левой полуплоскости  составит угол .

Очевидно, что пара комплексно сопряженных корней в правой полуплоскости внесет изменение аргумента равное -.

Таким образом доказана справедливость критерия Михайлова.

Геометрическая интерпретация критерия.

При изменении  от 0 до + годограф вектора D(j), начиная с точки, расположенной на положительной части действительной оси, проходит последовательно в положительном направлении n квадрантов. Начало годографа на положительной действительной оси следует из положительности коэффициентов устойчивой системы (необходимое, но недостаточное условие устойчивости).

Если система находится на границе устойчивости (имеются корни вида 0+j), то годограф пройдет через начало координат. При этом очертания годографа оказываются такими, что малые его деформации в начале координат могут сделать его удовлетворяющим критерию Михайлова.

Если система неустойчива, то малые деформации не могут дать такого эффекта.

На рис.4 представлены годографы Михайлова для двух астатических систем третьего порядка с постоянными времени T₁=0.5c, T₂=2c (критический коэффициент усиления K_max=2.5) для K=2 и K=3 (выше критического) . При  оба годографа асимптотически приближаются к оси абсцисс. При K=2 угол поворота вектора D(j) равен +270 градусов, при K=3 - угол поворота изменяется не монотонно и при  оказывается равным минус 90 градусов. На рис.5 представлена качественная зависимость  для K=3.

Другая формулировка критерия состоит в том, что корни уравнений X()=0 и Y()=0, полученных из равенства D(j)=X()+jY(), должны чередоваться. Первый корень =0 имеет нечетный многочлен Y(). Удаленность корней X()=0 и Y()=0 друг от друга характеризует запас устойчивости САУ.