2. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость
Определение. Прямую в пространстве определим как совокупность точек, общих для двух пересекающихся плоскостей.
(2.1)
где
,
нормальные векторы этих плоскостей,
причем
непараллельно
.
Уравнение (2.1) называется общими
уравнениями прямой
в пространстве. Заметим, что направляющий
вектор
прямой определяется по формуле
В зависимости от способа задания существует несколько видов уравнений прямой в пространстве (см. таблицу)
Таблица 2.
|
Способ задания прямой в пространстве и заданные параметры |
Вид уравнения прямой в пространстве и его название |
|
1.
Прямая задана точкой
|
Параметрические
уравнения прямой
|
|
Канонические
уравнения прямой
|
|
|
2.
Прямая задана двумя точками
|
Уравнения прямой, проходящей через 2-е точки
|
и направляющим вектором
,
где t
- параметр (2.2)
(2.3)
и
(2.4)
Основные задачи
1.
Угол между
прямыми
и
можно рассматривать, как угол между их
направляющими векторами
и
(2.5)
Условие
параллельности 2-х прямых:
.
Условие
перпендикулярности 2-х прямых:
.
2.
Расстояние
от т.
до прямой,
проходящей через т.
в направлении вектора
вычисляется по формуле:
(2.6)
3.
Рассмотрим случаи взаимного расположения
прямой
и плоскости
.
Возможны три случая:
а)
если
то прямая пересекает плоскость. Координаты
точки пересечения можно отыскать,
подставив значение
(2.7)
в канонические уравнения прямой (2.2);
б)
если
,
,
то прямая принадлежит плоскости;
в)
если
,
,
то прямая параллельна плоскости (но не
лежит в ней).
4.
Угол между
прямой
и плоскостью
определяется по формуле:
(2.8)
Задание 4
Составить каноническое уравнения прямых и найти координаты любых двух точек для каждой прямой
1)
прямая задана точкой
и направляющим вектором
;
2)
прямая задана двумя точками
и
;
3) прямая задана общими уравнениями
.
|
1
вариант.
1)
2)
3)
|
2
вариант.
1)
2)
3)
|
|
3
вариант.
1)
2)
3)
|
4
вариант.
1)
2)
3)
|
|
5
вариант.
1)
2)
3)
|
6
вариант.
1)
2)
3)
|
|
7
вариант.
1)
2)
3)
|
8
вариант.
1)
2)
3)
|
|
9
вариант.
1)
2)
3)
|
10
вариант.
1)
2)
3)
|
|
11
вариант.
1)
2)
3)
|
12
вариант.
1)
2)
3)
|
|
13
вариант.
1)
2)
3)
|
14
вариант.
1)
2)
3)
|
|
15
вариант.
1)
2)
3)
|
16
вариант.
1)
2)
3)
|
|
17
вариант.
1)
2)
3)
|
18
вариант.
1)
2)
3)
|
|
19
вариант.
1)
2)
3)
|
20
вариант.
1)
2)
3)
|
|
21
вариант.
1)
2)
3)
|
22
вариант.
1)
2)
3)
|
|
23
вариант.
1)
2)
3)
|
24
вариант.
1)
2)
3)
|
|
25
вариант.
1)
2)
3)
|
26
вариант.
1)
2)
3)
|
|
27
вариант.
1)
2)
3)
|
28
вариант.
1)
2)
3)
|
|
29
вариант.
1)
2)
3)
|
30
вариант.
1)
2)
3)
|
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
