Задание 2

Даны 4-е точки , , и . Составить уравнения:

1. плоскости ;

2. плоскости, проходящей через т. перпендикулярно вектору ;

3. плоскости, проходящей через т. и , параллельно вектору

Вычислить:

4. косинус угла между координатной плоскостью и плоскостью

1 вариант. , , , .

2 вариант. (0, 5, 0), (2, 3, –4), (0, 0, –6), (–3, 1, –1).

3 вариант. (0, 0, 6), (4, 0, –4), (1, 3, –1), (4, –1, –3).

4 вариант. (2, –5, 3), (3, 2, –5), (5, –3, –2), (–5, 3, 2).

5 вариант. (6, 0, 4), (0, 6, 4), (4, 6, 0), (0, –6, 4).

6 вариант. (3, 2, 4), (2, 4, 3), (4, 3, –2), (–2, –4,–3).

7 вариант. (6, 3, 5), (5, –4, 3), (3, 5, 6), (–6, –1, 2).

8 вариант. (5, –2, –1), (4, 0, 0), (2, 5, 1), (1, 2, 5).

9 вариант. (4, 2, 5), (3, 0, 4), (0, 0, 3), (5, –2, –4).

10 вариант. (4, 2, –5), (3, 0, 4), (0, 2, 3), (5, –2, –4).

11 вариант. (4, 4, 10), (7, 10, 2), (2, 8, 4), (9, 6, 9).

12 вариант. (4, 6, 5), (6, 2, 4), (2, 4, 4), (1, 5, –3).

13 вариант. (3, 5, 4), (6, 5, 4), (5, 0, 4), (4, –2, 3).

14 вариант. (0, 6, 6), (–2, 6, 4), ,(6, 4, 1) (–2, 0, 3).

15 вариант. (1, 4, 2), (5, 2, 6), (5, –3, 4), (4, 0, 6).

16 вариант. (6, 6, 5), (4, 2, 5), (4, 6, 1), (6, –4, 3).

17 вариант. (4, 2, 2), (5, 1, 1), (5, 3, 1), (2, 3, 4).

18 вариант. (–1, 6, 4), (1, 5, 5), (5, 6, 0), (3, 3, 6).

19 вариант. (2, 1, 3), (6, 5, –1), (3, 5, 2), (0, 4, 1).

20 вариант. (–2, 1, 2), (4, 0, 0), (3, 2, 6), (1, 3, 2).

21 вариант. (3, 2, 4), (1, 3, 2), (–2, 1, 2), (4, 0, 0).

22 вариант. (1, 3, 2), (3, 2, 0), (4, 0, 0), (–2, 1, 2).

23 вариант. (3, 1, –2), (1, –2, 1), (2, 2, 5), (–2, 1, 0).

24 вариант. (–2, 1, 0), (2, 2, 5), (3, 1, 2), (1, –2, 1).

25 вариант. (2, 2, 5), (–2, 1, 0), (1, –2, 1), (3, 1, 2).

26 вариант. (1, –1, 6), (4, 5, –2), (–1, 3, 0), (1, –1, 5).

27 вариант. (6, 1, 5), (–1, 3, 0), (4, 5, –2), (1, –1, 6).

28 вариант. (1, –2, 1), (3, 1, –2), (2, 2, 5), (–2, 1, 0).

29 вариант. (4, 0, 0), (–2, 1, 2), (1, 3, 2), (3, 2, 5).

30 вариант. (–5, 6, –1), (6, –5, 2), (6, 5, 1), (0, 0, 2).

Задание 3

Решить следующие задачи.

1 вариант. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку параллельно плоскости .

2 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка М₁М₂ перпендикулярно к этому отрезку, если , .

3 вариант. Найти расстояние от точки до плоскости .

4 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости Оху.

5 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку .

6 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , параллельно оси Оу.

7 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно оси Ох.

8 вариант. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку параллельно плоскости .

9 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки, параллельно вектору .

10 вариант. Составить уравнение плоскости в "отрезках", если она проходит через точку и отсекает на оси Ох отрезок , а на оси Oz – отрезок .

11 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам и .

12 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , перпендикулярно к плоскости .

13 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям и .

14 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки, параллельно вектору .

15 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к вектору, если , .

16 вариант. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку параллельно плоскости .

17 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к отрезку , если , .

18 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к отрезку , если , .

19 вариант. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно координатной плоскости Oxz.

20 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку .

21 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно оси Oz.

22 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно оси Oу.

23 вариант. Найти проекцию точки на плоскость .

24 вариант. Определить, при каком значении В плоскости и будут перпендикулярны.

25 вариант. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку и отсекает на осях координат отличные от нуля отрезки одинаковой величины.

26 вариант. При каких значениях А и В плоскость параллельна плоскости .

27 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , перпендикулярно к плоскости .

28 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к плоскостям и .

29 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно вектору .

30 вариант. Определить, при каком значении С плоскости и будут перпендикулярны.

Решение типового варианта

Задание 1.

Написать общее уравнение и построить плоскости заданные следующим образом:

1. точкой и нормальным вектором ;

2) отрезками , , , отсекаемыми данной плоскостью на осях координат и соответственно;

3) тремя точками , , ;

4) двумя точками , и и направляющим (параллельным) вектором ;

5. найти косинус угла между плоскостями из п.1) и 2);

6. найти расстояние от точки до плоскости из п. 3).

Решение:

1) по формуле (1.2) получаем

- общее уравнение плоскости 1.

Для построения плоскости рекомендуется перейти к уравнению плоскости «в отрезках» (1.3)

; ; - отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат , и соответственно. Соединив концы этих отрезков получаем часть искомой плоскости.

2) составляем уравнение плоскости «в отрезках» (1.3) и сразу строим полученную плоскость

Для получения общего уравнения умножим уравнение «в отрезках» на 6 (н.о.к. знаменателей)

- общее уравнение плоскости 2.

3) составим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки (1.4)

;

Разложим последний определитель по элементам 1-ой строки:

Итак - общее уравнение плоскости 3.

Переходим к уравнению «в отрезках» и строим плоскость

4) составим уравнение плоскости через 2-е точки и направляющий вектор (1.5):

.

Произведя действия, аналогичные приведенным в п. 3 получаем - общее уравнение плоскости 4 и

уравнение «в отрезках»

Т.к. в последнем уравнении , получаем частный случай расположения плоскости – параллельно оси .

5) Угол между плоскостями 1 и 2:

и находим как угол между их нормальными векторами и по формуле (1.6)

;

,

6) расстояние от точки до плоскости 3) найдем по формуле (1.7)

(ед.)

Задание 2.

Даны 4-е точки , , и . Составить уравнения:

1. плоскости ;

2. плоскости, проходящей через т. перпендикулярно вектору ;

3. плоскости, проходящей через т. и , параллельно вектору

Вычислить:

4. косинус угла между координатной плоскостью и плоскостью

Решение:

1) Уравнение плоскости составим по формуле (1.4)

- общее уравнение плоскости .

2) Уравнение плоскости, проходящий через т. перпендикулярно вектору составим по формуле (1.2). В данном случае

- общее уравнение плоскости.

3) Уравнение плоскости, проходящий через точки и , параллельно вектору составим по формуле (1.5). В данном случае

- общее уравнение плоскости.

4) Вычислим косинус угла между координатной плоскостью (уравнение имеет вид ) и плоскостью по формуле (1.6):

.

Задание 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через т. перпендикулярно к двум плоскостям и .

Решение. Из уравнений плоскости найдем координаты их нормалей: и . Перемножив их векторно найдем координаты вектора , перпендикулярного для нормалей и , т.е. параллельно для двух данных плоскостей

.

Вектор является нормальным для искомой плоскости. Пользуемся формулой (1.2).

- общее уравнение плоскости.