Задание 18

Даны уравнения линии в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам на промежутке от до с шагом, равным; 2) найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) назвать линию, найти координаты центра и полуоси.

1. .	2. .	3. .
4. .	5. .	6. .
7. .	8. .	9. .
10. .	11. .	12. .
13. .	14. .	15. .
16. .	17. .	18. .
19. .	20. .	21. .
22. .	23. .	24. .
25. .	26.	27. .
28.	29. .	30. .

Решение типового варианта

Задание 16. построить точки, заданные полярными координатами и найти их декартовые координаты.

, , ,

Решение.

Вначале проводим луч под углом к полярной оси , затем на этом луче откладываем от полюса отрезок длинной . В итоге находим все точки , , , . В соответствии с формулами (1.1) имеем:

; , .

Аналогично находим ; ; .

Задание 17. Построить точки, заданные декартовыми координатами и найти их полярные координаты.

; ;

Решение.

Согласно формулам (1.2) и рисунку получаем:

для т. ;

, согласно рисунку , т.е. ;

для т. ;

, по рисунку видно, что , т.е. ;

для т. ;

; из рисунка видно , т.е. .

Задание 18.

Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется построить линию по точкам от  = 0 до  = 2 с шагом  / 8. Найти уравнение данной линии в декартовой системе координат и назвать линию.

Решение. Составим табл. 5 для вычисления значений r.

Таблица 5

	0	 / 8	 / 4	3 / 8	 / 2	5 / 8	3 / 4	7 / 8		…
r	1,5	1,52	1,58	1,67	1,8	1,95	2,096	2,21	2,25

Построим линию, учитывая, что (рис. 6.7).

Для перехода в декартовую систему координат воспользуемся формулами

, .

Получим уравнение

,

которое после преобразований примет вид



 

 ,

 

.

Получили уравнение эллипса с центром в точке О(–4; 0) и полуосями а = 5, b = 3.

2. Параметрические уравнения линии

Определение. Уравнение вида

(2.1)

где , , , - искомые функции параметра , называется параметрическими уравнениями линии в пространстве. В частном случае, когда ( или ), получаем параметрические уравнения линии на плоскости ( или ).