Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия позволяет решать геометрические задачи средствами алгебры с помощью метода координат, введенного Декартом в XVII в. Согласно этому методу на плоскости или в пространстве фиксируется система координат, в которой точке соответствует упорядоченный набор чисел (ее координаты), линиям и поверхностям – уравнения или системы уравнений. Таким образом изучение геометрических свойств линий и поверхностей сводится к исследованию аналитических свойств соответствующих им уравнений.
Вместе с методом координат в аналитической геометрии используются методы векторной алгебры.
I. Прямые и плоскости
1. Плоскость
Определение.
Совокупность точек пространства,
координаты которых
удовлетворяют уравнению
(1.1)
н
азывается
плоскостью.
Здесь
- заданные числа, причем
.
Уравнение (1.1) называется общим
уравнением плоскости,
коэффициенты
являются координатами вектора
,
перпендикулярного к заданной плоскости.
Вектор
называется нормальным
вектором (нормалью).
В зависимости от способа задания плоскости, существует несколько видов ее уравнений (см. таблицу).
Таблица 1.
|
Способ задания плоскости и заданные параметры |
Вид уравнения плоскости и его название |
|
1.
Плоскость задана точкой
|
Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору
|
|
2.
Плоскость задана отрезками
|
Уравнение плоскости «в отрезках» |
|
3.
Плоскость задана тремя точками
|
Уравнение плоскости по трем точкам
|
|
4.
Плоскость задана двумя точками
|
Уравнение плоскости по двум точкам и направляющему вектору
|
и нормальным вектором
(1.2)
и
,
отсекаемыми ей на осях координат
и
соответственно
(1.3)
,
и
(1.4)
и
и направляющим (параллельным ей)
вектором
(1.5)
Замечание ! Уравнения (1.2) – (1.5.) приводятся к виду (1.1)
Задачи на плоскости:
1.
Угол между
плоскостями
и
вычисляется, как угол между их нормалями
и
по известной из векторной алгебры
формуле
(1.6)
У
словие
параллельности 2-х плоскостей:
.
Условие
перпендикулярности 2-х плоскостей
.
2.
Расстояние
от точки
до плоскости
вычисляется по формуле
(1.7)
Задание 1
Написать общее уравнение и построить плоскости заданные следующим образом:
-
точкой
и нормальным вектором
; -
отрезками
и
,
отсекаемыми данной плоскостью на осях
координат
и
соответственно; -
тремя точками
,
и
; -
двумя точками
и
и направляющим (параллельным) вектором
; -
найти косинус угла между плоскостями из п.1) и 2);
-
найти расстояние от точки
до плоскости из п. 3).
|
1
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
2
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
|
3
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
4
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
|
5
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
6
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
|
7
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
8
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
|
9
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
10
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
|
11
вариант.
1)
2)
3) 4)
|
12
вариант.
1)
2)
3) 4)
|
|
13
вариант.
1)
2)
3) 4)
|
14
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
|
15
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
16
вариант.
1)
2)
3) 4)
|
|
17
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
18
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
|
19
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
20
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
|
21
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
22
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
|
23
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
24
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
|
25
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
26
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
|
27
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
28
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
|
29
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
30
вариант.
1)
2)
3)
4)
|
,
;
,
,
;
,
,
;
,
,
,
;
,
,
;
,
,
;
,
,
,
;
,
,
;
,
,
;
,
,
,
;
,
,
;
,
,
;
,
,
,
;
2,
4,
–1;
,
,
;
,
,
,
;
–3,
5,
1;
,
,
;
,
,
,
;
4,
–3,
1;
,
,
;
,
,
,
;
–5,
2,
4;
,
,
;
,
,
,
;
3,
4,
–1;
,
,
;
,
,
,
;
1,
4,
–2;
,
,
;
,
,
,
;
4,
–3,
5;
,
,
;
,
,
,
;
3,
1,
–4;
,
,
;
,
,
,
;
3,
–2,
1;
,
,
,
,
,
;
–2,
–1,
4;
,
,
;
,
,
,
;
4,
–5,
–3;
,
,
;
,
,
,
;
–5,
3,
1;
,
,
;
,
,
,
;
4,
5,
1;
,
,
;
,
,
,
;
–2,
4,
–3;
,
,
;
,
,
,
;
2,
–1,
5;
,
,
;
,
,
,
;
–3,
5,
2;
,
,
;
,
,
,
;
–4,
4,
3;
,
,
;
,
,
,
;
2,
–4,
1;
,
,
;
,
,
,
;
–1,
5,
–3;
,
,
;
,
,
,
;
–2,
4,
1;
,
,
;
,
,
,
;
4,
2,
1;
,
,
;
,
,
,
;
3,
4,
–3;
,
,
;
,
,
,
;
5,
–1,
2;
,
,
;
,
,
,
;
–2,
4,
1;
,
,
;
,
,
,
;
2,
3,
4;
,
,
;
,
,
,
;
–4,
3,
1;
,
,
;
,
,
