5. Цилиндры второго порядка. Конус второго порядка

Рассмотрим на плоскости линию с уравнением . Через каждую точку этой линии проведем прямую, параллельно оси . Все эти прямые составят поверхность, называемую цилиндрической или цилиндром. Линия называется направляющей этого цилиндра, а каждая из прямых, параллельных оси - образующей.

Уравнение направляющей цилиндра, если рассматривать его в пространстве, является уравнением самого цилиндра. Цилиндр, направляющей которого служит кривая второго порядка, называется цилиндром второго порядка.

1. Эллиптический цилиндр

(5.1)

2. Гиперболический цилиндр

(5.2)

3. Параболический цилиндр

(5.3)

Замечание ! Если уравнение поверхности второго порядка имеет вид или , то это уравнение задает цилиндр с образующими, параллельными оси или соответственно.

Конус вращения.

(5.4)

получается при вращении прямой , расположенной в плоскости , вокруг оси . Точка пересечения прямых, составляющих конус (т. О) называется вершиной конуса. Линии, полученные при сечении конуса вращения различными плоскостями, называются коническими сечениями или коники, это и есть кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола.

6. Поверхности вращения

Определение. Поверхности, получаемые вращением некоторой плоской линии вокруг заданной оси координат, лежащей с этой линией в одной плоскости, называются поверхностями вращения.

Если линия лежит в плоскости и имеет уравнение , , то при вращении ее вокруг оси уравнение полученной поверхности вращения имеет вид: