1. Окружность и сфера
Определение.
Совокупность точек плоскости,
равноудаленных от данной точки
(центра окружности), называется
окружностью.
Окружность
с центром в т.
и радиусом
задается уравнением (каноническим)
. (1.3)
Окружность
с центром в т.
и радиусом
(на рисунке) задается уравнением
. (1.4)
В пространстве окружности соответствует сфера. Каноническое уравнение сферы:
. (1.5)
Если
же центр сферы находится в т.
то уравнение ее имеет вид:
(1.6)
2. Эллипс и эллипсоид
Определении.
Эллипсом
называется совокупность точек М
плоскости, сумма расстояний от каждой
из которых до двух данных точек (фокусов
эллипса) есть величина постоянная, т.е.
.
Здесь
т.
- фокусы эллипса;
- большая полуось,
- малая полуось;
- фокусное расстояние; прямые
и
- директрисы эллипса.
Канонические
уравнение эллипса с центром в т.
и полуосями
и
имеет вид:
. (2.1)
Фокусное расстояние можно определить из соотношения:
;
эксцентриситет
эллипса
;
уравнения
директрис
.
В
случае, если
,
то фокусное расстояние определяется
по формуле
;
эксцентриситет
;
уравнение директрис
.
Если
центр эллипса находится в т.
,
то его уравнение имеет вид:
(2.2)
В
пространстве эллипсу соответствует
эллипсоид. Его каноническое уравнение
(центр в т.
и полуоси а,
b,
с),
имеет вид:
(2.3)
Если
же центр эллипсоида находится в т.
,
то уравнение (2.3) преобразуется:
(2.4)
3. Гипербола и гиперболоиды
Определение.
Гиперболой
называется совокупность точек М
плоскости, абсолютная величина разности
расстояний от которых до двух данных
точек (фокусов гиперболы) есть величина
постоянная, т.е.
.
Здесь
- фокусы гиперболы,
- действительная полуось,
- мнимая полуось,
- фокусное расстояние,
и
- директрисы гиперболы,
и
- асимптоты гиперболы. Каноническое
уравнение гиперболы с центром в т.
и полуосями: действительной
и мнимой
имеет вид:
(3.1)
Для
гиперболы
;
эксцентриситет
эллипса
;
уравнения
директрис
;
уравнение
асимптот
.
Гипербола, уравнение которой имеет вид
(3.2)
называется сопряженной с гиперболой (3.1) и имеет вид:
Здесь
- мнимая полуось,
-действительная полуось;
эксцентриситет
эллипса
;
уравнения
директрис
.
Если
центр гиперболы смещен в т.
,
то уравнение (3.1) и (3.2) принимают вид:
(3.3)
(3.4)
В пространстве гиперболе соответствуют гиперболоиды: однополостный и двухполостный.
Однополостный гиперболоид описывается уравнением
(3.5)
и имеет вид
двухполостный гиперболоид описывается уравнением
(3.6)
4. Парабола и параболоиды
Определение.
Параболой
называется совокупность точек М
плоскости, каждая из которых равноудалена
от данной точки (фокуса параболы) и
данной прямой (директрисы параболы)
т.е.
.
Здесь
F
– фокус параболы, расстояние от директрисы
до фокуса
- параметр параболы. Каноническое
уравнение параболы с вершиной в т.
,
параметром р
и ветвями, направленными вправо имеет
вид
(4.1)
Уравнения
,
,
определяют параболы, иначе ориентированные
относительно осей координат.
Если
вершина параболы находится в т.
,
то ее уравнение выглядит одним из
следующих образов
,
(4.2)
В пространстве параболе соответствуют параболоиды: эллиптический и гиперболический.
Эллиптический параболоид описывается уравнением
(4.3)
и имеет вид
Гиперболический параболоид описывается уравнением
(4.4)
и имеет вид.
